Começando com a fórmula
, válida para
, represente cada função por uma série de potências de
. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a fórmula
, que é válida para
. Nosso objetivo é representar a função
como uma série de potências em
e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender como manipular séries geométricas e identificar o intervalo onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a nossa função é
. Isso se assemelha à fórmula básica
, onde
é uma expressão que envolve
. No caso, temos
. A fórmula da série geométrica nos permite escrever
como uma soma infinita, desde que a condição
seja satisfeita.
Passo 3
Aplicando a fórmula da série geométrica, substituímos
por
:
Simplificando o termo
, temos:
Portanto, a série de potências que representa
é
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. A condição para a série geométrica ser válida é
. No nosso caso,
, então:
Como
é sempre não negativo, podemos simplificar para:
Tomando a raiz quarta dos dois lados:
Isso nos diz que a série converge quando
.
Passo 5
O raio de convergência é o valor que define até onde a série converge. Aqui, como
, o raio de convergência
é 1. O intervalo de convergência é todas as
que satisfazem
, ou seja:
Resposta
A série de potências que representa
é
, com raio de convergência
e intervalo de convergência
.