Começando com a fórmula 11-x=sumn=0^infty x^n, válida para |x|<1, represente cada função por uma série de potências de x. Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergência.
11-x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a fórmula 11-x = sumn=0^infty x^n, que é válida para |x| < 1. Nosso objetivo é representar a função 11-x^4 como uma série de potências em x e determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender como manipular séries geométricas e identificar o intervalo onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a nossa função é 11 - x^4. Isso se assemelha à fórmula básica 11 - r, onde r é uma expressão que envolve x. No caso, temos r = x^4. A fórmula da série geométrica nos permite escrever 11 - r como uma soma infinita, desde que a condição |r| < 1 seja satisfeita.

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica, substituímos r por x^4:
11 - x^4 = sumn=0^infty (x^4)^n
Simplificando o termo (x^4)^n, temos:
sumn=0^infty x^4n
Portanto, a série de potências que representa 11 - x^4 é sumn=0^infty x^4n.

Passo 4

Agora, precisamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. A condição para a série geométrica ser válida é |r| < 1. No nosso caso, r = x^4, então:
|x^4| < 1
Como x^4 é sempre não negativo, podemos simplificar para:
x^4 < 1
Tomando a raiz quarta dos dois lados:
|x| < 1
Isso nos diz que a série converge quando |x| < 1.

Passo 5

O raio de convergência é o valor que define até onde a série converge. Aqui, como |x| < 1, o raio de convergência R é 1. O intervalo de convergência é todas as x que satisfazem |x| < 1, ou seja:
-1 < x < 1

Resposta

A série de potências que representa 11 - x^4 é sumn=0^infty x^4n, com raio de convergência R = 1 e intervalo de convergência -1 < x < 1.

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