Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de

Passo 1

Aqui, a gente tem uma série e precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar o conteúdo de séries de potências e aplicar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita calculando o limite do quociente entre termos consecutivos:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
Agora, vamos calcular o quociente :

Passo 4

Simplificando o quociente:
Sabemos que:
Então, o limite fica:

Passo 5

Vamos analisar o limite :
Para qualquer , é uma constante diferente de zero, e tende ao infinito. Então, , que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer .

Passo 6

Agora, vamos verificar o caso especial quando :
Substituindo na série:
Portanto, a série converge quando .

Resposta

O intervalo de convergência é apenas .

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Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e . Considere a rotação de R em torno do eixo .
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e .
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de