Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
sumn=0^infty n^n(x-3)^n

Passo 1

Aqui, a gente tem uma série e precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Vamos usar o conteúdo de séries de potências e aplicar o Teste da Razão para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita calculando o limite do quociente entre termos consecutivos:
L = limn to infty | an+1an |
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = n^n(x-3)^n
Agora, vamos calcular o quociente an+1an = (n+1)^n+1(x-3)^n+1n^n(x-3)^n = (n+1) (n+1n)^n (x-3) :

Passo 4

Simplificando o quociente:
an+1an = (n+1) (1 + 1n)^n (x-3)
Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e
Então, o limite L = limn to infty (n+1) e |x-3| fica:

Passo 5

Vamos analisar o limite L = limn to infty (n+1) e |x-3| :
Para qualquer , é uma constante diferente de zero, e tende ao infinito. Então, , que é maior que 1. Isso significa que a série diverge para qualquer .

Passo 6

Agora, vamos verificar o caso especial quando sumn=0^infty n^n(3-3)^n = sumn=0^infty n^n cdot 0^n = sumn=0^infty 0 = 0 :
Substituindo na série:
Portanto, a série converge quando .

Resposta

O intervalo de convergência é apenas .

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