Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge ao girar uma região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por rotação, especificamente usando o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Para resolver isso, vamos precisar montar uma integral que represente esse volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Entre e , a função oscila entre positivo e negativo, mas como temos como limite inferior, vamos considerar apenas onde está acima de zero.
Como estamos girando em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é bem adequado. A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação (eixo ), e é a função que define a altura da casca cilíndrica.

Passo 3

Identificando os limites de integração, temos e . A função que define a altura da casca é .
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar , usamos a técnica de integração por partes, onde:
Vamos escolher:
Aplicando a integração por partes:
Agora, substituímos os limites de a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Então:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo , em cada caso.
e
Considere a integral definida .
É correto afirmar que a integral acima representa a área da região localizada entre o eixo , o gráfico de e as retas e ? (Justifique e em seguida calcule a área de ).
Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e . Considere a rotação de R em torno do eixo .
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de