Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo
, em cada caso.
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que surge ao girar uma região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo de volumes por rotação, especificamente usando o método dos cilindros (ou cascas cilíndricas). Para resolver isso, vamos precisar montar uma integral que represente esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Entre
e
, a função
oscila entre positivo e negativo, mas como temos
como limite inferior, vamos considerar apenas onde
está acima de zero.
Como estamos girando em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é bem adequado. A fórmula para o volume
usando esse método é:
Aqui,
é a distância do elemento infinitesimal à linha de rotação (eixo
), e
é a função que define a altura da casca cilíndrica.
Passo 3
Identificando os limites de integração, temos
e
. A função que define a altura da casca é
.
Então, substituindo na fórmula:
Agora, vamos resolver essa integral. Para integrar
, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Vamos escolher:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a integração por partes:
Agora, substituímos os limites de
a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.