Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: temos que encontrar o intervalo de convergência da série . Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que uma série converge se o limite . Vamos calcular esse limite para a nossa série.

Passo 3

Identificamos . Então, . Agora, calculamos a raiz -ésima:

Passo 4

Observamos que , pois e quando cresce. Portanto, temos:

Passo 5

Para a série convergir pelo Teste da Raiz, precisamos que . Isso define o intervalo de convergência como .

Passo 6

Também precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando e .
  • Para :
    A série se torna . Como os termos tendem a zero e são positivos, e a sequência é decrescente, pelo Teste da Série Alternada, a série converge.
  • Para :
    A série se torna , que é uma série positiva. Para verificar a convergência, comparamos com a integral , que é divergente. Portanto, a série diverge em .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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