Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: temos que encontrar o intervalo de convergência da série
. Para isso, vamos utilizar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o Teste da Raiz. Esse teste nos diz que uma série
converge se o limite
. Vamos calcular esse limite para a nossa série.
Passo 3
Identificamos
. Então,
. Agora, calculamos a raiz
-ésima:
Passo 4
Observamos que
, pois
e
quando
cresce. Portanto, temos:
Passo 5
Para a série convergir pelo Teste da Raiz, precisamos que
. Isso define o intervalo de convergência como
.
Passo 6
Também precisamos verificar o comportamento nos extremos do intervalo, ou seja, quando
e
.
-
Para
:
A série se torna. Como os termos tendem a zero e são positivos, e a sequência é decrescente, pelo Teste da Série Alternada, a série converge. -
Para
:
A série se torna, que é uma série positiva. Para verificar a convergência, comparamos com a integral , que é divergente. Portanto, a série diverge em .
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
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Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e
. Considere a rotação de R em torno do eixo
.
R é limitada por
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
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