Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e . Considere a rotação de R em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região R em torno do eixo y. A região R é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o método de discos ou cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região R. A curva é a inversa de , e é uma linha reta. Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Simplificando:
Como estamos lidando com a função que é definida para todos os reais, consideramos e (já que também é uma solução, mas para simplificar, vamos considerar ).
Passo 4
Agora que sabemos que a região R é limitada entre e , vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula do volume usando discos em torno do eixo y é:
Onde é o raio externo e é o raio interno.
Passo 5
Determinar e :
A curva externa em relação ao eixo y é , então .
A curva interna é , então .
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 8
Calculando os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto:
Passo 9
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
Passo 10
Finalmente, multiplicando por :
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.