Encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R limitada pelas curvas dadas em torno do eixo indicado:
R é limitada por e . Considere a rotação de R em torno do eixo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar a região R em torno do eixo y. A região R é limitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos usar o método de discos ou cascas cilíndricas, que são técnicas de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região R. A curva é a inversa de , e é uma linha reta. Para visualizar melhor, vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Simplificando:
Como estamos lidando com a função que é definida para todos os reais, consideramos e (já que também é uma solução, mas para simplificar, vamos considerar ).

Passo 4

Agora que sabemos que a região R é limitada entre e , vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula do volume usando discos em torno do eixo y é:
Onde é o raio externo e é o raio interno.

Passo 5

Determinar e :
  • A curva externa em relação ao eixo y é , então .
  • A curva interna é , então .

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:

Passo 8

Calculando os limites de integração:
Para :
Para :
Portanto:

Passo 9

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:

Passo 10

Finalmente, multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
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