Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
sumn=0^infty x^2 n+1(-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série . Isso tá ligado ao conteúdo de séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o teste da razão e entender um pouco sobre séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é x cdot sumn=0^infty ( x^2-4 )^n . Podemos reescrever isso como:
Isso porque e podemos dividir o termo por .

Passo 3

Agora, observamos que temos uma série geométrica, que tem a forma | x^2-4 | < 1 , onde x^24 < 1 é a razão comum. Sabemos que uma série geométrica converge quando o módulo da razão é menor que 1, ou seja, .
No nosso caso, a razão é . Então, vamos definir a condição de convergência:
Como o módulo de um número é sempre positivo, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de x^24 < 1 x^2 < 4 |x| < 2 que satisfazem a condição:
Isso significa que deve estar entre e para a série convergir.

Passo 5

Mas precisamos verificar os limites desse intervalo, ou seja, quando 2^2n+1(-4)^n = 2 cdot ( 4-4 )^n = 2 cdot (-1)^n e (-2)^2n+1(-4)^n = -2 cdot ( 4-4 )^n = -2 cdot (-1)^n , para confirmar se a série realmente converge nesses pontos.
  • Quando :
A série se torna , que é uma série alternada que não converge.
  • Quando :
A série se torna , que também não converge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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