Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série . Isso tá ligado ao conteúdo de séries de potências. Para resolver, vamos precisar usar o teste da razão e entender um pouco sobre séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série. A série dada é . Podemos reescrever isso como:
Isso porque e podemos dividir o termo por .
Passo 3
Agora, observamos que temos uma série geométrica, que tem a forma , onde é a razão comum. Sabemos que uma série geométrica converge quando o módulo da razão é menor que 1, ou seja, .
No nosso caso, a razão é . Então, vamos definir a condição de convergência:
Como o módulo de um número é sempre positivo, podemos simplificar:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem a condição:
Isso significa que deve estar entre e para a série convergir.
Passo 5
Mas precisamos verificar os limites desse intervalo, ou seja, quando e , para confirmar se a série realmente converge nesses pontos.
Quando :
A série se torna , que é uma série alternada que não converge.