Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série não converge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos :
Então, será:

Passo 4

Agora, calculamos a razão :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando o denominador, cresce como quando é muito grande. Então:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .

Resposta

A série converge para todos os números reais, ou seja, o intervalo de convergência é .

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