Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série
sumn=0^infty 2^n(2n)! x^2n
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para verificar a convergência de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série não converge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos an = 2^n(2n)! x^2n :
an+1 = 2^n+1(2(n+1))! x^2(n+1) = 2^n+1(2n+2)! x^2n+2
Então, será:

Passo 4

Agora, calculamos a razão an+1an = 2^n+1(2n+2)! x^2n+2 cdot (2n)!2^n x^2n = 2 cdot x^2 cdot 1(2n+1)(2n+2) :
| an+1an | = 2x^2(2n+1)(2n+2)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty 2x^2(2n+1)(2n+2) quando L = limn to infty 2x^24n^2 = limn to infty x^22n^2 = 0 tende ao infinito:
Observando o denominador, cresce como quando é muito grande. Então:

Passo 6

Como o limite é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .

Resposta

A série converge para todos os números reais, ou seja, o intervalo de convergência é .

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