Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar o intervalo de convergência da série
Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática usada para verificar a convergência de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série , se o limite
existe, então:
Se , a série converge.
Se , a série não converge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série. Primeiro, identificamos :
Então, será:
Passo 4
Agora, calculamos a razão :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Observando o denominador, cresce como quando é muito grande. Então:
Passo 6
Como o limite é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge para todos os valores de .
Resposta
A série converge para todos os números reais, ou seja, o intervalo de convergência é .