Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o intervalo de convergência da série dada, que é uma questão de Análise de Séries. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a série que temos:
Aqui, cada termo geral da série é .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, se o limite é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Vamos calcular :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Queremos que :
Passo 6
Resolvendo a desigualdade:
Como estamos trabalhando com módulos, podemos considerar e . Mas para simplificar, vamos focar na condição principal , que nos dá:
Passo 7
Para encontrar o intervalo de , analisamos a desigualdade .
Isso significa que:
Essa é uma inequação cúbica que pode ser resolvida numericamente ou por análise gráfica. Contudo, para simplificar, podemos observar que a série converge para valores de onde o módulo do termo é menor que 1, conforme o teste da razão.
Passo 8
Depois de resolver a desigualdade, encontramos que a série converge para no intervalo: