Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
sumn=0^infty (-1)^n+1(x-3)^4 nn^1 / n

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série infinita:
sumn=0^infty (-1)^n+1(x-3)^4nn^1/n
Vamos trabalhar com a matéria de séries e, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para séries. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da série e aplicar um teste adequado para descobrir onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que (x-3)^4n = [(x-3)^4]^n. Então, a série fica:
sumn=0^infty (-1)^n+1 [(x-3)^4]^nn^1/n
Essa forma nos lembra uma série geométrica, onde temos uma base elevada à potência n. No entanto, temos um fator adicional no denominador, n^1/n.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de n^1/n quando n cresce. Sabemos que:
limn to infty n^1/n = 1
Isso significa que, para valores grandes de n, n^1/n está muito próximo de 1. Portanto, o fator 1/n^1/n basicamente não afeta a convergência da série para valores grandes de n.

Passo 4

Agora, vamos focar na parte principal da série que determina a convergência, que é [(x-3)^4]^n = (x-3)^4n. Podemos reescrever isso como:
sumn=0^infty (-1)^n+1 [(x-3)^4]^n
Essa é uma série geométrica alternada com razão r = (x-3)^4.

Passo 5

Para uma série geométrica sumn=0^infty ar^n convergir, precisamos que a razão |r| seja menor que 1:
| (x-3)^4 | < 1
Como qualquer número elevado a uma potência par é positivo, podemos simplificar para:
(x-3)^4 < 1

Passo 6

Resolvendo a desigualdade (x-3)^4 < 1, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
|x-3| < 1
Isso nos dá:
-1 < x - 3 < 1
Somando 3 em todos os lados da desigualdade:
2 < x < 4

Passo 7

Então, a série converge para todos os valores de x que estão entre 2 e 4. Agora, precisamos verificar os pontos finais x=2 e x=4 para ver se a série também converge nesses casos.

Passo 8

Para x=2:
|x-3| = |2-3| = 1
A série se torna:
sumn=0^infty (-1)^n+1n^1/n
Sabemos que limn to infty 1n^1/n = 1, então o termo geral não tende a zero. Portanto, a série não converge em x=2.

Passo 9

Para x=4:
|x-3| = |4-3| = 1
A série novamente se torna:
sumn=0^infty (-1)^n+1n^1/n
Assim como no caso anterior, o termo geral não tende a zero, e a série não converge em x=4.

Resposta

O intervalo de convergência da série é 2 < x < 4.

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