Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Passo 1
Então, a gente tem que descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série infinita:
Vamos trabalhar com a matéria de séries e, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para séries. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da série e aplicar um teste adequado para descobrir onde ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que
. Então, a série fica:
Essa forma nos lembra uma série geométrica, onde temos uma base elevada à potência
. No entanto, temos um fator adicional no denominador,
.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de
quando
cresce. Sabemos que:
Isso significa que, para valores grandes de
,
está muito próximo de 1. Portanto, o fator
basicamente não afeta a convergência da série para valores grandes de
.
Passo 4
Agora, vamos focar na parte principal da série que determina a convergência, que é
. Podemos reescrever isso como:
Essa é uma série geométrica alternada com razão
.
Passo 5
Para uma série geométrica
convergir, precisamos que a razão
seja menor que 1:
Como qualquer número elevado a uma potência par é positivo, podemos simplificar para:
Passo 6
Resolvendo a desigualdade
, tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Isso nos dá:
Somando 3 em todos os lados da desigualdade:
Passo 7
Então, a série converge para todos os valores de
que estão entre 2 e 4. Agora, precisamos verificar os pontos finais
e
para ver se a série também converge nesses casos.
Passo 8
Para
:
A série se torna:
Sabemos que
, então o termo geral não tende a zero. Portanto, a série não converge em
.
Passo 9
Para
:
A série novamente se torna:
Assim como no caso anterior, o termo geral não tende a zero, e a série não converge em
.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência: