Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir qual é o intervalo de convergência dessa série infinita:
Vamos trabalhar com a matéria de séries e, mais especificamente, vamos usar testes de convergência para séries. Para isso, vamos precisar entender o comportamento da série e aplicar um teste adequado para descobrir onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. Observamos que . Então, a série fica:
Essa forma nos lembra uma série geométrica, onde temos uma base elevada à potência . No entanto, temos um fator adicional no denominador, .

Passo 3

Vamos analisar o comportamento de quando cresce. Sabemos que:
Isso significa que, para valores grandes de , está muito próximo de 1. Portanto, o fator basicamente não afeta a convergência da série para valores grandes de .

Passo 4

Agora, vamos focar na parte principal da série que determina a convergência, que é . Podemos reescrever isso como:
Essa é uma série geométrica alternada com razão .

Passo 5

Para uma série geométrica convergir, precisamos que a razão seja menor que 1:
Como qualquer número elevado a uma potência par é positivo, podemos simplificar para:

Passo 6

Resolvendo a desigualdade , tiramos a raiz quarta de ambos os lados:
Isso nos dá:
Somando 3 em todos os lados da desigualdade:

Passo 7

Então, a série converge para todos os valores de que estão entre 2 e 4. Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série também converge nesses casos.

Passo 8

Para :
A série se torna:
Sabemos que , então o termo geral não tende a zero. Portanto, a série não converge em .

Passo 9

Para :
A série novamente se torna:
Assim como no caso anterior, o termo geral não tende a zero, e a série não converge em .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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