Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função e também determinar o raio de convergência dessa série. A série de MacLaurin é uma maneira de representar funções como somas infinitas de potências de , e para isso vamos usar conceitos de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que a gente consiga aplicar a série geométrica, que tem a forma para .
Vamos manipular a função:
Mas essa forma ainda não é ideal para usarmos a série geométrica. Então, vamos tentar outra abordagem.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador para se aproximar de :
Agora, vamos separar os termos no numerador:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série geométrica:
Aqui, nosso é . Então, podemos expandir como:
Ou seja, .

Passo 5

Substituindo essa série na expressão de :
Vamos distribuir o e simplificar:
Podemos reescrever isso como:

Passo 6

Vamos simplificar os termos dentro da soma:
Portanto, a série fica:
Podemos reescrever isso combinando os termos:
Observando que o segundo somatório é uma série que começa no termo , podemos ajustar os índices para combinar as somas.

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, temos a série de MacLaurin para :
Mas isso nos retorna à forma original da função. Portanto, a série de MacLaurin de é:
Podemos combinar os somatórios para obter a série final.

Resposta

A série de MacLaurin da função é:
E o raio de convergência dessa série é 3, ou seja, a série converge para .

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