Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra encontrar a série de MacLaurin da função e também determinar o raio de convergência dessa série. A matéria envolvida aqui é análise de séries de potências, especificamente a expansão em série de MacLaurin, que é uma série de Taylor centrada em . Vamos precisar conhecer a série de MacLaurin da função seno e saber como manipular séries para encontrar a da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de MacLaurin da função seno. A série de MacLaurin para é:
Aqui, cada termo da série é calculado usando a fórmula geral da série de Taylor, onde é o índice da soma.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a série de MacLaurin para . Isso significa que vamos multiplicar cada termo da série de por :
Multiplicando na série, temos:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que é uma ferramenta comum para encontrar o intervalo de convergência de séries de potências.
Usando o Teste da Razão, analisamos o limite:
Onde .
Calculando:
Tomando o valor absoluto e o limite quando tende ao infinito:
Como , a série converge para todo valor de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

A série de MacLaurin de é
e o raio de convergência dessa série é infinito.

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