Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
sumn=0^infty (-1)^n+1 x^2 n-1(2 n-1)!

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a série . Nosso objetivo é determinar para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos utilizar o Teste da Razão, que é uma ferramenta útil para encontrar o intervalo de convergência de séries infinitas.

Passo 2

O Teste da Razão nos diz para calcular o limite do valor absoluto do quociente entre o termo geral e quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão:
L = limn to infty | an+1an |
Substituindo L = limn to infty | (-1)^(n+1)+1 x^2(n+1)-1(2(n+1)-1)! cdot (2n-1)!(-1)^n+1 x^2n-1 | e L = limn to infty | x^2n+1(2n+1)! cdot (2n-1)!x^2n-1 | = limn to infty | x^2(2n+1)(2n) | :
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, avaliaremos o limite encontrado:
L = limn to infty | x^2(2n+1)(2n) | = limn to infty |x|^24n^2 + 2n = 0
Porque o denominador cresce sem limites à medida que aumenta, o limite tende a 0.

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se , a série converge. Aqui, para qualquer valor de , que é sempre menor que 1. Portanto, a série converge para todos os números reais.

Resposta

A série converge para todos os números reais, ou seja, o intervalo de convergência é .

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