Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de séries de potências e como expandir funções em séries de MacLaurin, que é uma forma específica de série de Taylor centrada em zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. Ela é uma série de potências que representa uma função
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. A fórmula geral da série de MacLaurin é:
No caso da função
, a série de MacLaurin é uma série geométrica:
Passo 3
Agora, vamos adaptar isso para a nossa função
. Observe que podemos escrever:
Comparando com a série geométrica
, onde
, podemos substituir:
Passo 4
Vamos simplificar os termos:
Então, a série de MacLaurin para
é:
Passo 5
Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica
, a série converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o raio de convergência
é
.
Resposta
A série de MacLaurin para
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
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