Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de MacLaurin da função e também determinar o raio de convergência dessa série. Isso envolve conceitos de séries de potências e como expandir funções em séries de MacLaurin, que é uma forma específica de série de Taylor centrada em zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de MacLaurin. Ela é uma série de potências que representa uma função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . A fórmula geral da série de MacLaurin é:
No caso da função , a série de MacLaurin é uma série geométrica:

Passo 3

Agora, vamos adaptar isso para a nossa função . Observe que podemos escrever:
Comparando com a série geométrica , onde , podemos substituir:

Passo 4

Vamos simplificar os termos:
Então, a série de MacLaurin para é:

Passo 5

Agora, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Para uma série geométrica , a série converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de MacLaurin para é:
E o raio de convergência dessa série é .

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Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de