Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a série de MacLaurin para a função e também descobrir o raio de convergência dessa série. A série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências em torno de . Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de potências e a expansão binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série binomial para uma função da forma , que é válida para :
onde são os coeficientes binomiais generalizados.

Passo 3

No nosso caso, temos , que podemos reescrever como . Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a fórmula da série binomial, temos:
Agora, precisamos calcular os coeficientes binomiais .

Passo 5

Os coeficientes binomiais para expoentes negativos são dados por:
Então, substituindo na série, temos:

Passo 6

Simplificando a expressão, podemos distribuir os termos:
Essa é a série de MacLaurin para a função .

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para séries de potências da forma , o raio de convergência é dado por:
No nosso caso, a série é , então e o termo de é .

Passo 8

Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série converge quando:
Assim, o raio de convergência é .

Resposta

A série de MacLaurin da função é:
E o raio de converg��ncia dessa série é .

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