Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a série de MacLaurin para a função
e também descobrir o raio de convergência dessa série. A série de MacLaurin é basicamente uma expansão em série de potências em torno de
. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de potências e a expansão binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da série binomial para uma função da forma
, que é válida para
:
onde
são os coeficientes binomiais generalizados.
Passo 3
No nosso caso, temos
, que podemos reescrever como
. Aqui,
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da série binomial, temos:
Agora, precisamos calcular os coeficientes binomiais
.
Passo 5
Os coeficientes binomiais para expoentes negativos são dados por:
Então, substituindo na série, temos:
Passo 6
Simplificando a expressão, podemos distribuir os termos:
Essa é a série de MacLaurin para a função
.
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio de convergência dessa série. Para séries de potências da forma
, o raio de convergência
é dado por:
No nosso caso, a série é
, então
e o termo de
é
.
Passo 8
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série converge quando:
Assim, o raio de convergência
é
.
Resposta
A série de MacLaurin da função
é:
E o raio de converg��ncia dessa série é
.
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.