Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a série de Taylor da função no ponto , além de calcular o raio de convergência dessa série. Aqui, vamos usar conceitos de séries de Taylor e entender como expandir funções em série em torno de um ponto específico. Vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e de como calcular o raio de convergência usando o teste da razão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão. Sabemos que pode ser escrita como .
Passo 3
Vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a série em . Definimos , então . Substituindo na função:
Passo 4
Agora, vamos usar a expansão em binômio para . A série binomial para é:
onde .
Passo 5
Aplicando isso à nossa função:
Passo 6
Calculando os primeiros termos da série:
e assim por diante.
Passo 7
Portanto, a série de Taylor fica:
Substituindo :
Passo 8
Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão. Observando os termos gerais da série binomial, sabemos que a série converge quando: