Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente encontrar a série de Taylor da função no ponto , além de calcular o raio de convergência dessa série. Aqui, vamos usar conceitos de séries de Taylor e entender como expandir funções em série em torno de um ponto específico. Vamos precisar lembrar da fórmula da série de Taylor e de como calcular o raio de convergência usando o teste da razão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a expansão. Sabemos que pode ser escrita como .

Passo 3

Vamos fazer uma mudança de variável para centralizar a série em . Definimos , então . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, vamos usar a expansão em binômio para . A série binomial para é:
onde .

Passo 5

Aplicando isso à nossa função:

Passo 6

Calculando os primeiros termos da série:
e assim por diante.

Passo 7

Portanto, a série de Taylor fica:
Substituindo :

Passo 8

Para encontrar o raio de convergência, usamos o teste da razão. Observando os termos gerais da série binomial, sabemos que a série converge quando:

Resposta

A série de Taylor de em torno de é:
E o raio de convergência dessa série é .

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