Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função
e determinar o raio de convergência. A série de MacLaurin é uma forma de representar funções como soma de polinômios, e para isso, vamos precisar conhecer as séries de MacLaurin das funções trigonométricas básicas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as séries de MacLaurin para
e
:
Essas séries são infinitas e representam as funções trigonométricas como somas de potências de
com coeficientes que alternam de sinal.
Passo 3
Agora, vamos substituir essas séries na função
:
Vamos simplificar a segunda parte multiplicando o
dentro da soma:
Passo 4
Agora, vamos juntar as duas somas em uma única série. Para isso, precisamos alinhar os índices e os expoentes de
. Podemos reescrever a segunda soma ajustando o índice de
:
Agora, juntando as somas:
Passo 5
Para simplificar, podemos fatorar o termo
:
Passo 6
Agora, temos a série de MacLaurin de
. Para determinar o raio de convergência, podemos observar que as séries de
e
têm raio de convergência infinito. Como
é uma combinação dessas duas séries, o raio de convergência também será infinito.
Resposta
A série de MacLaurin da função
é
e o raio de convergência é infinito.
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