Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a série de MacLaurin da função e determinar o raio de convergência. A série de MacLaurin é uma forma de representar funções como soma de polinômios, e para isso, vamos precisar conhecer as séries de MacLaurin das funções trigonométricas básicas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as séries de MacLaurin para e :
Essas séries são infinitas e representam as funções trigonométricas como somas de potências de com coeficientes que alternam de sinal.

Passo 3

Agora, vamos substituir essas séries na função :
Vamos simplificar a segunda parte multiplicando o dentro da soma:

Passo 4

Agora, vamos juntar as duas somas em uma única série. Para isso, precisamos alinhar os índices e os expoentes de . Podemos reescrever a segunda soma ajustando o índice de :
Agora, juntando as somas:

Passo 5

Para simplificar, podemos fatorar o termo :

Passo 6

Agora, temos a série de MacLaurin de . Para determinar o raio de convergência, podemos observar que as séries de e têm raio de convergência infinito. Como é uma combinação dessas duas séries, o raio de convergência também será infinito.

Resposta

A série de MacLaurin da função é
e o raio de convergência é infinito.

Exercícios relacionados

Em cada caso determine o intervalo de convergência da série de
Determine a série de Taylor das eguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência:
Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência:
Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência: