Em cada caso determine a matriz da forma el e da forma erl, linha-equivalente a matriz dada.
(a)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinarmos duas formas da matriz dada: a forma de linha escalonada (el) e a forma de linha escalonada reduzida (erl). Isso faz parte da álgebra linear, especificamente no estudo de matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos usar operações elementares de linha, que são ferramentas para simplificar matrizes sem mudar suas propriedades essenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz original para termos tudo à mão:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada usando operações de linha, que incluem trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 3
Vamos começar pela primeira coluna. Queremos que o primeiro elemento seja 1, mas aqui temos um 0 na posição (1,1). Uma estratégia é encontrar uma linha abaixo que tenha um número diferente de zero nessa coluna e trocá-la com a primeira linha.
Observando, na segunda linha, temos -1 na posição (2,1). Vamos trocar a primeira linha com a segunda:
Passo 4
Agora, queremos que o primeiro elemento seja 1. Para isso, multiplicamos a primeira linha por -1:
Passo 5
Em seguida, vamos eliminar os elementos abaixo do 1 na primeira coluna. Para a terceira linha, que tem -2 na primeira posição, adicionamos 2 vezes a primeira linha a ela:
Linha 3 = Linha 3 + 2 * Linha 1
Passo 6
Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Atualmente, ele é -3. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -1/3:
Passo 7
Vamos agora eliminar os elementos acima e abaixo do 1 na segunda coluna. Primeiro, na primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 - 2 * Linha 2
Em seguida, na terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 2
E na quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 + 3 * Linha 2
Passo 8
Agora, vamos para a quarta coluna. Queremos que o elemento (3,4) seja 1. Atualmente, ele é -5/3. Podemos multiplicar a terceira linha por -3/5:
Passo 9
Finalmente, vamos eliminar os elementos acima do 1 na quarta coluna. Na segunda linha:
Linha 2 = Linha 2 + (4/3) * Linha 3
E na primeira linha:
Linha 1 = Linha 1 + (1/3) * Linha 3
Resposta
A forma escalonada da matriz é:
E a forma escalonada reduzida de linha (erl) é a mesma, já que todas as colunas com pivôs têm 1 e os demais elementos acima e abaixo são zeros.