Determinar o valor de para que os Sistemas Lineares abaixo:
Tenham:
Solução única.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . A missão é descobrir qual o valor de que faz esse sistema ter uma solução única. Para isso, vamos usar um conceito da álgebra linear chamado determinante. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, então o sistema tem uma única solução. Então, vamos precisar montar essa matriz, calcular seu determinante e resolver para .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das equações. Olhando para o sistema:
x + y + a z = 2 3x + 4y + 2 z = a 2x + 3y - z = 1
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & a 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot 4 cdot (-1) + 1 cdot 2 cdot 2 + a cdot 3 cdot 3 - a cdot 4 cdot 2 - 1 cdot 2 cdot (-1) - 1 cdot 3 cdot 3 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar: