Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
lx+y+a z=2 3 x+4 y+2 z=a 2 x+3 y-z=1
Tenham:
Solução única.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . A missão é descobrir qual o valor de que faz esse sistema ter uma solução única. Para isso, vamos usar um conceito da álgebra linear chamado determinante. Se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, então o sistema tem uma única solução. Então, vamos precisar montar essa matriz, calcular seu determinante e resolver para .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes das equações. Olhando para o sistema:
x + y + a z = 2 3x + 4y + 2 z = a 2x + 3y - z = 1
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & a 3 & 4 & 2 2 & 3 & -1

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot 4 cdot (-1) + 1 cdot 2 cdot 2 + a cdot 3 cdot 3 - a cdot 4 cdot 2 - 1 cdot 2 cdot (-1) - 1 cdot 3 cdot 3 . O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos usar a regra de Sarrus aqui para facilitar:
1 cdot 4 cdot (-1) = -4
Vamos calcular passo a passo:
1 cdot 2 cdot 2 = 4
a cdot 3 cdot 3 = 9a
-a cdot 4 cdot 2 = -8a
-1 cdot 2 cdot (-1) = 2
-1 cdot 3 cdot 3 = -9
-4 + 4 + 9a - 8a + 2 - 9 = ( -4 + 4 + 2 - 9 ) + (9a - 8a) = (-7) + a = a - 7
Somando tudo:
Então, o determinante é .

Passo 4

Para que o sistema tenha uma solução única, o determinante deve ser diferente de zero:
a - 7 neq 0
Resolvendo para a neq 7 :

Resposta

O sistema tem solução única para todo valor de diferente de 7.

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