Determinar o valor de a para que os Sistemas Lineares abaixo:
la x+y+z=1 x+a y+z=1 x+y+a z=1
Tenham:
Mais de uma solução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações lineares com três variáveis: , e . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que esse sistema tenha mais de uma solução. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e propriedades dos sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que a gente tem:
a x + y + z = 1 x + a y + z = 1 x + y + a z = 1
Nosso objetivo é encontrar os valores de que tornam esse sistema indeterminado, ou seja, que possuam infinitas soluções.

Passo 3

Para determinar quando um sistema linear tem mais de uma solução, a gente precisa analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for zero, o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo se é consistente ou não. No caso, como os termos independentes são iguais, vamos focar quando o determinante for zero.
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes:
a & 1 & 1 1 & a & 1 1 & 1 & a

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a regra de expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores aqui:
det = a(a cdot a - 1 cdot 1) - 1(1 cdot a - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 1 - a cdot 1)
Simplificando:
det = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a)
det = a^3 - a - a + 1 + 1 - a
det = a^3 - 3a + 2

Passo 5

Para que o sistema tenha mais de uma solução, o determinante deve ser igual a zero:
a^3 - 3a + 2 = 0
Vamos resolver essa equação cúbica para encontrar os valores de .

Passo 6

Vamos fatorar a equação cúbica 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0 . Uma forma de fatorar é tentar encontrar raízes racionais usando o teste das possíveis raízes, que são os divisores do termo constante ( a^3 - 3a + 2 = (a-1)(a^2 + a - 2) ) divididos pelos divisores do coeficiente líder ( a = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32 ):
Possíveis raízes:
Testando :
Então, é uma raiz. Agora, vamos dividir a equação por para encontrar os outros fatores:
Agora, resolvemos a equação quadrática :
Assim, as soluções são e .

Passo 7

Portanto, os valores de a = 1 e a = -2 que fazem o sistema ter mais de uma solução são:

Resposta

Os valores de que tornam o sistema com mais de uma solução são e .

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