Considere o sistema linear
S=l -x+6 y-8 z=1 -2 x+6 y-4 z=0
Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
b) Resolva o sistema linear e verifique que toda
X=(l x y z )=lambda(l 4 2 1 )+(l 1 13 0 )
para lambda in R.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão pede. Temos um sistema de equações lineares com duas equações e três incógnitas ( x, y, z). O conteúdo envolvido aqui é a resolução de sistemas lineares usando matrizes e espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar aplicar métodos de álgebra linear, como a eliminaçăo de variáveis e parametrização das soluções.

Passo 2

Vamos começar resolvendo o sistema de equações dado:
- x + 6 y - 8 z = 1 -2 x + 6 y - 4 z = 0
Primeiro, podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar y:
(-2x + 6y - 4z) - (-x + 6y - 8z) = 0 - 1 -2x + 6y - 4z + x - 6y + 8z = -1 - x + 4z = -1
Agora, isolamos x:
- x + 4z = -1 x = 4z + 1

Passo 3

Com x expresso em termos de z, substituímos na primeira equação para encontrar y:
- (4z + 1) + 6y - 8z = 1 -4z -1 + 6y -8z =1 6y -12z = 2 y = 2z + 13

Passo 4

Até agora, temos:
x = 4z + 1 y = 2z + 13 z = z
Podemos notar que z é uma variável livre, ou seja, pode assumir qualquer valor real. Vamos chamar z de lambda, onde lambda in R.

Passo 5

Substituindo lambda nas expressões de x e y:
x = 4lambda + 1 y = 2lambda + 13 z = lambda
Podemos expressar o vetor solução X da seguinte forma:
$$
X =
X = x y z = 1 13 0 + lambda 4 2 1

  • \lambda
$$

Resposta

Todas as soluções do sistema são dadas por:
X = lambda 4 2 1 + 1 13 0 para todo lambda in R

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