Verifique, em cada caso, se o conjunto
é um subespaço vetorial de
:
se
;
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, que é o conjunto de todas as matrizes 3x3 com números reais. O conjunto
é formado por matrizes onde os elementos
são zero sempre que a linha
é maior ou igual à coluna
(ou seja,
se
). Para resolver isso, vamos verificar se
satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero pertence a
. O vetor zero em
é a matriz onde todos os elementos são zero. Como para todo
e
,
, então
satisfaz a condição
se
. Portanto, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos ver se
é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em
e somarmos elas, a matriz resultante também deve estar em
. Seja
e
em
. Então, para todo
, temos
e
. A soma
terá
para todo
. Assim,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer matriz em
e multiplicarmos por um número real qualquer, a matriz resultante também deve estar em
. Seja
em
e
um escalar real. A matriz
terá
para todo
. Portanto,
também pertence a
.
Resposta
Como todas as três condições são satisfeitas, podemos concluir que o conjunto
é, de fato, um subespaço vetorial de
.