Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de M3(R): W=[ai j] ; ai j=0 se i >= j;

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A questão quer saber se o conjunto W é um subespaço vetorial de M3(R), que é o conjunto de todas as matrizes 3x3 com números reais. O conjunto W é formado por matrizes onde os elementos aij são zero sempre que a linha i é maior ou igual à coluna j (ou seja, aij = 0 se i >= j). Para resolver isso, vamos verificar se W satisfaz as três condições necessárias para ser um subespaço vetorial: conter o vetor zero, ser fechado sob adição e ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o vetor zero pertence a W. O vetor zero em M3(R) é a matriz onde todos os elementos são zero. Como para todo i e j, 0 = 0, então aij = 0 satisfaz a condição aij = 0 se i >= j. Portanto, o vetor zero está em W.

Passo 3

Agora, vamos ver se W é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas matrizes quaisquer em W e somarmos elas, a matriz resultante também deve estar em W. Seja A = [aij] e B = [bij] em W. Então, para todo i >= j, temos aij = 0 e bij = 0. A soma A + B = [aij + bij] terá aij + bij = 0 + 0 = 0 para todo i >= j. Assim, A + B também está em W.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se pegarmos qualquer matriz em W e multiplicarmos por um número real qualquer, a matriz resultante também deve estar em W. Seja A = [aij] em W e k um escalar real. A matriz kA = [k cdot aij] terá k cdot aij = k cdot 0 = 0 para todo i >= j. Portanto, kA também pertence a W.

Resposta

Como todas as três condições são satisfeitas, podemos concluir que o conjunto W é, de fato, um subespaço vetorial de M3(R).

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