Em cada caso determine a matriz da forma el e da forma erl, linha-equivalente a matriz dada.
© [lll1 & 2 & 3 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 2 & 4 & 5]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em duas formas diferentes que são equivalentes por operações de linhas: a forma escalonada (forma el) e a forma reduzida por linhas escalonadas (forma erl). Para isso, vamos usar operações de linhas elementares, que são mudanças que a gente faz nas linhas da matriz para chegar às formas desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que a gente tem:
1 & 2 & 3 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 2 & 4 & 5
Nosso objetivo é reorganizar essa matriz usando operações de linhas para chegar na forma escalonada e depois na forma reduzida.

Passo 3

Vamos começar pela forma escalonada. A ideia aqui é organizar a matriz de maneira que, pela esquerda para a direita, cada linha comece com mais zeros à esquerda do que a linha acima dela. Também queremos que o primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) seja 1.

Passo 4

Primeiro, observamos que o primeiro elemento da primeira linha já é 1, o que é perfeito para o pivô. Agora, queremos fazer com que os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna sejam zeros. Para isso, podemos subtrair a primeira linha da segunda linha e também subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
  • Operação na linha 2: 1 & 2 & 3 0 & -2 & -3 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1
  • Operação na linha 4:
Aplicando essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos que o segundo pivô seja 1. Observamos que na terceira linha já temos um 1 na segunda coluna, então vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar.
  • Troca de linhas: 1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 0 & -2 & -3 0 & 0 & -1
A matriz fica:

Passo 6

Em seguida, vamos usar o pivô da segunda linha para eliminar os elementos acima e abaixo dele na segunda coluna. Primeiro, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha e, depois, adicionar 2 vezes a segunda linha à terceira linha.
  • Operação na linha 1: 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1
  • Operação na linha 3:
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 7

Agora, olhamos para a terceira coluna. Queremos que o terceiro pivô seja 1. Percebemos que na terceira linha temos -1, então vamos multiplicar a terceira linha por -1 para obter 1.
  • Operação na linha 3: 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1
A matriz fica:

Passo 8

Por fim, queremos eliminar o elemento abaixo do terceiro pivô. Vamos adicionar a terceira linha à quarta linha para zerar esse elemento.
  • Operação na linha 4: 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
A matriz final na forma escalonada fica:

Resposta

A matriz na forma escalonada (forma el) é:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
E a matriz na forma reduzida por linhas escalonadas (forma erl) é a mesma, já que não há mais elementos para eliminar:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0

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