Em cada caso determine a matriz da forma el e da forma erl, linha-equivalente a matriz dada.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a matriz dada em duas formas diferentes que são equivalentes por operações de linhas: a forma escalonada (forma el) e a forma reduzida por linhas escalonadas (forma erl). Para isso, vamos usar operações de linhas elementares, que são mudanças que a gente faz nas linhas da matriz para chegar às formas desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz que a gente tem:
Nosso objetivo é reorganizar essa matriz usando operações de linhas para chegar na forma escalonada e depois na forma reduzida.
Passo 3
Vamos começar pela forma escalonada. A ideia aqui é organizar a matriz de maneira que, pela esquerda para a direita, cada linha comece com mais zeros à esquerda do que a linha acima dela. Também queremos que o primeiro número diferente de zero em cada linha (chamado de pivô) seja 1.
Passo 4
Primeiro, observamos que o primeiro elemento da primeira linha já é 1, o que é perfeito para o pivô. Agora, queremos fazer com que os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna sejam zeros. Para isso, podemos subtrair a primeira linha da segunda linha e também subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha.
- Operação na linha 2:
1 & 2 & 3 0 & -2 & -3 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 - Operação na linha 4:
Aplicando essas operações, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. Queremos que o segundo pivô seja 1. Observamos que na terceira linha já temos um 1 na segunda coluna, então vamos trocar a segunda e a terceira linha para facilitar.
- Troca de linhas:
1 & 2 & 3 0 & 1 & 1 0 & -2 & -3 0 & 0 & -1
A matriz fica:
Passo 6
Em seguida, vamos usar o pivô da segunda linha para eliminar os elementos acima e abaixo dele na segunda coluna. Primeiro, vamos subtrair 2 vezes a segunda linha da primeira linha e, depois, adicionar 2 vezes a segunda linha à terceira linha.
- Operação na linha 1:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & -1 0 & 0 & -1 - Operação na linha 3:
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 7
Agora, olhamos para a terceira coluna. Queremos que o terceiro pivô seja 1. Percebemos que na terceira linha temos -1, então vamos multiplicar a terceira linha por -1 para obter 1.
- Operação na linha 3:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1
A matriz fica:
Passo 8
Por fim, queremos eliminar o elemento abaixo do terceiro pivô. Vamos adicionar a terceira linha à quarta linha para zerar esse elemento.
- Operação na linha 4:
1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
A matriz final na forma escalonada fica:
Resposta
A matriz na forma escalonada (forma el) é:
E a matriz na forma reduzida por linhas escalonadas (forma erl) é a mesma, já que não há mais elementos para eliminar: