Quais pares de matrizes são linha equivalentes?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta é: Quais pares de matrizes são linha equivalentes? Estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com equivalência de matrizes por operações de linha. Para resolver isso, vamos precisar verificar se conseguimos transformar uma matriz na outra usando operações fundamentais de linha, como trocar linhas, multiplicar uma linha por um número diferente de zero e adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa duas matrizes serem linha equivalentes. Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra através de uma sequência de operações elementares de linha. Isso implica que elas têm a mesma solução para sistemas lineares associados.
Passo 3
Vamos começar comparando a matriz A com a matriz B. Vamos tentar transformar A em B usando operações de linha.
Passo 4
Vamos multiplicar a primeira linha de A por 3 para ver se ela se alinha com a primeira linha de B:
Comparando com a primeira linha de B:
Percebemos que não são iguais, então precisamos de mais operações para ajustar.
Passo 5
Vamos tentar outra abordagem. Vamos usar a primeira linha de A para eliminar o elemento abaixo na primeira coluna da segunda e terceira linhas.
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Nova Linha 2 = Linha 2 - 5 × Linha 1:
5 - 5 times 1 & -6 - 5 times (-4) & 10 - 5 times 9 & 7 - 5 times (-7) = 0 & 14 & -35 & 42 -
Nova Linha 3 = Linha 3 + Linha 1:
-1 + 1 & 2 + (-4) & -4 + 9 & 1 + (-7) = 0 & -2 & 5 & -6
Agora a matriz A fica assim:
Passo 6
Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 14:
Agora, a matriz A está assim:
Passo 7
Vamos usar a segunda linha para eliminar o -4 na primeira linha e o -2 na terceira linha.
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Nova Linha 1 = Linha 1 + 4 × Linha 2:
1 + 0 & -4 + 4 times 1 & 9 + 4 times (-52) & -7 + 4 times 3 = 1 & 0 & -1 & 5 -
Nova Linha 3 = Linha 3 + 2 × Linha 2:
0 + 0 & -2 + 2 times 1 & 5 + 2 times (-52) & -6 + 2 times 3 = 0 & 0 & 0 & 0
Agora, a matriz A está na forma:
Passo 8
Vamos fazer o mesmo processo para a matriz B e ver se chegamos na mesma forma reduzida.
Primeiro, vamos usar a segunda linha de B para eliminar o 3 e o 1 nas primeiras posições das linhas 1 e 3.
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Nova Linha 1 = Linha 1 - 3 × Linha 2:
3 - 3 times 1 & 2 - 3 times 0 & -8 - 3 times (-1) & -21 - 3 times 5 = 0 & 2 & -5 & -36 -
Nova Linha 3 = Linha 3 - Linha 2:
1 - 1 & -6 - 0 & 14 - (-1) & -13 - 5 = 0 & -6 & 15 & -18
Agora, a matriz B fica assim:
Passo 9
Vamos simplificar a primeira linha dividindo por 2:
Agora, a matriz B está assim:
Passo 10
Vamos usar a primeira linha para eliminar o -6 na terceira linha.
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Nova Linha 3 = Linha 3 + 6 × Linha 1:
0 + 0 & -6 + 6 times 1 & 15 + 6 times (-52) & -18 + 6 times (-18) = 0 & 0 & 0 & -126
Agora, a matriz B está na forma:
Passo 11
Comparando as formas reduzidas de A e B, vemos que não são iguais:
- A:
- B:
Como as últimas linhas não coincidem, A e B não são linha equivalentes.
Passo 12
Agora, vamos comparar a matriz A com a matriz C.
Vamos seguir o mesmo processo de aplicar operações de linha para ver se conseguimos chegar na forma reduzida de A.
Passo 13
Primeiro, vamos usar a primeira linha de C para eliminar os elementos abaixo na primeira coluna.
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Nova Linha 2 = Linha 2 - 2 × Linha 1:
2 - 2 times 1 & -2 - 2 times (-6) & 3 - 2 times 14 & 4 - 2 times (-13) = 0 & 10 & -25 & 30 -
Nova Linha 3 = Linha 3 - Linha 1:
1 - 1 & -2 - (-6) & 4 - 14 & -1 - (-13) = 0 & 4 & -10 & 12
Agora, a matriz C fica assim:
Passo 14
Vamos simplificar a segunda linha dividindo por 10:
Agora, a matriz C está assim:
Passo 15
Vamos usar a segunda linha para eliminar o -6 na primeira linha e o 4 na terceira linha.
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Nova Linha 1 = Linha 1 + 6 × Linha 2:
1 + 0 & -6 + 6 times 1 & 14 + 6 times (-52) & -13 + 6 times 3 = 1 & 0 & -1 & 5 -
Nova Linha 3 = Linha 3 - 4 × Linha 2:
0 - 0 & 4 - 4 times 1 & -10 - 4 times (-52) & 12 - 4 times 3 = 0 & 0 & 0 & 0
Agora, a matriz C está na forma:
Passo 16
Comparando a forma reduzida de A com a de C, vemos que são iguais:
- A:
- C:
Isso significa que A e C são linha equivalentes.
Resposta
Somente as matrizes A e C são linha equivalentes.