Dadas as transformações definidas abaixo, verifique qual delas são lineares:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação
definida por
. Precisamos verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades fundamentais: adição e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a adição. Isso significa que, para quaisquer dois vetores
e
em
, a transformação deve cumprir:
Vamos calcular:
No entanto, percebemos que há um termo
que não está definido, já que nossa transformação é de
. Isso indica que o enunciado pode ter um erro, possivelmente incluindo uma variável que não pertence ao domínio da transformação.
Passo 3
Assumindo que o termo
seja um erro de digitação e que a transformação correta seja
, vamos continuar a verificação. Com essa definição, a adição fica:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.
Passo 4
Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor
em
e qualquer escalar
, a transformação deve cumprir:
Calculando:
Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.
Resposta
A transformação
é linear.