Dadas as transformações definidas abaixo, verifique qual delas são lineares: T: R^2 R, T(x, y)=-3 x+2 y-z

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação definida por . Precisamos verificar se essa transformação é linear. Para isso, vamos lembrar que uma transformação linear deve satisfazer duas propriedades fundamentais: adição e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a adição. Isso significa que, para quaisquer dois vetores T(u + v) = T(u) + T(v) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = -3(x1 + x2) + 2(y1 + y2) - z em , a transformação deve cumprir:
Vamos calcular:
No entanto, percebemos que há um termo que não está definido, já que nossa transformação é de . Isso indica que o enunciado pode ter um erro, possivelmente incluindo uma variável que não pertence ao domínio da transformação.

Passo 3

Assumindo que o termo T(u + v) = -3(x1 + x2) + 2(y1 + y2) = (-3x1 + 2y1) + (-3x2 + 2y2) = T(u) + T(v) seja um erro de digitação e que a transformação correta seja , vamos continuar a verificação. Com essa definição, a adição fica:
Portanto, a propriedade da adição é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos verificar a homogeneidade. Isso significa que, para qualquer vetor T(alpha u) = alpha T(u) em T(alpha u) = T(alpha x, alpha y) = -3(alpha x) + 2(alpha y) = alpha(-3x + 2y) = alpha T(u) e qualquer escalar , a transformação deve cumprir:
Calculando:
Então, a propriedade da homogeneidade também é satisfeita.

Resposta

A transformação é linear.

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