Em cada caso, determine
de modo que a função dada seja contínua no dado ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor de
para que essa função seja contínua no ponto
. Isso envolve o estudo da continuidade de funções, especificamente garantindo que o limite da função quando
se aproxima de 1 seja igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Uma função
é contínua em um ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso,
e
. Então, precisamos calcular
e igualar a
.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Primeiro, tentamos substituir
diretamente na expressão:
Obtemos uma indeterminação
, o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica de cálculo de limite, como a fatoração.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Começando pelo numerador:
Agora, o denominador:
Vamos tentar fatorar
. Isso pode ser feito encontrando as raízes da equação
. Testando
:
Então,
é uma raiz, e podemos dividir o denominador por
:
Passo 5
Agora, substituímos as fatorações na expressão do limite:
Podemos cancelar o termo
no numerador e denominador, já que
:
Passo 6
Agora que simplificamos, substituímos
na expressão:
Passo 7
Agora que temos o limite, lembramos que para a função ser contínua em
, o limite deve ser igual a
, ou seja, a
:
Resposta
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Seja
: Para quais valores de
existe
Encontre os valores da constante
para os quais a função
é contínua:
Em cada caso, determine
de modo que a função dada seja contínua no dado ponto
:
Verifique se é verdadeiro ou falso:
, onde