Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^3-1x^4+3 x-4 & se x neq 1 L & se x=1 em a=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes e precisamos encontrar o valor de para que essa função seja contínua no ponto . Isso envolve o estudo da continuidade de funções, especificamente garantindo que o limite da função quando se aproxima de 1 seja igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em limx to a f(x) = f(a) . Uma função é contínua em um ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, e . Então, precisamos calcular e igualar a .

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limx to 1 x^3 - 1x^4 + 3x - 4
Primeiro, tentamos substituir 1^3 - 11^4 + 3(1) - 4 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma indeterminação , o que significa que precisamos simplificar a expressão ou usar outra técnica de cálculo de limite, como a fatoração.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Começando pelo numerador:
x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)
Agora, o denominador:
Vamos tentar fatorar 1^4 + 3(1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0 . Isso pode ser feito encontrando as raízes da equação x^4 + 3x - 4 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 4) . Testando :
Então, é uma raiz, e podemos dividir o denominador por :

Passo 5

Agora, substituímos as fatorações na expressão do limite:
limx to 1 (x - 1)(x^2 + x + 1)(x - 1)(x^3 + x^2 + x + 4)
Podemos cancelar o termo limx to 1 x^2 + x + 1x^3 + x^2 + x + 4 no numerador e denominador, já que :

Passo 6

Agora que simplificamos, substituímos 1^2 + 1 + 11^3 + 1^2 + 1 + 4 = 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 4 = 37 na expressão:

Passo 7

Agora que temos o limite, lembramos que para a função ser contínua em limx to 1 f(x) = 37 = L , o limite deve ser igual a , ou seja, a :

Resposta

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Seja f(x)=x-llbracket x rrbracket: Para quais valores de a existe lim x a f(x)
Encontre os valores da constante c para os quais a função f é contínua:
f(x) = { x² - c se x < 4, c x + 20 se x ≥ 4 }
Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^2+xx+1 & se x neq-1 L & se x=-1 em a=-1
Verifique se é verdadeiro ou falso: |x - 1| < 10^(-1) => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1