Seja
: Para quais valores de
existe
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função
e pede para descobrir para quais valores de
o limite
existe. Aqui, estamos lidando com conceitos de funções de partes inteiras e limites. Vamos precisar entender como a função
se comporta perto de qualquer ponto
para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Essa é a notação para a parte inteira de
, que basicamente pega o maior inteiro menor ou igual a
. Por exemplo,
e
.
Então, a função
está pegando o valor de
e subtraindo sua parte inteira. Isso nos dá a parte fracionária de
. Por exemplo:
- Se
, então . - Se
, então .
Passo 3
Agora, vamos falar sobre limites. O limite
existe se, quando
se aproxima de
por valores maiores (direita) e por valores menores (esquerda), ambos os limites laterais são iguais.
Então, precisamos ver se a parte fracionária de
se comporta de maneira consistente quando
se aproxima de
por cima e por baixo.
Passo 4
Vamos analisar dois casos:
-
Quando
não é um número inteiro: - Suponha
. - Se
se aproxima de por cima (como 2.6, 2.7, …), a parte fracionária de se aproxima de 0.5. - Se
se aproxima de por baixo (como 2.4, 2.3, …), a parte fracionária também se aproxima de 0.5. - Portanto, o limite existe e é igual a 0.5.
- Suponha
-
Quando
é um número inteiro: - Suponha
. - Se
se aproxima de por cima (como 3.1, 3.2, …), a parte fracionária de se aproxima de 0. - Se
se aproxima de por baixo (como 2.9, 2.8, …), a parte fracionária de se aproxima de 0.9. - Nesse caso, os limites laterais são diferentes (0 e 0.9), então o limite não existe.
- Suponha
Passo 5
Então, juntando tudo:
- Se
não é inteiro, a parte fracionária de se aproxima de um valor único quando se aproxima de , então o limite existe. - Se
é inteiro, os limites por cima e por baixo não combinam, então o limite não existe.
Resposta
O limite
existe para todos os valores de
que não são números inteiros. Em outras palavras, existe para todo
exceto quando
é inteiro.
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