Seja f(x)=x-llbracket x rrbracket: Para quais valores de a existe lim x a f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a função e pede para descobrir para quais valores de o limite existe. Aqui, estamos lidando com conceitos de funções de partes inteiras e limites. Vamos precisar entender como a função se comporta perto de qualquer ponto para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Essa é a notação para a parte inteira de , que basicamente pega o maior inteiro menor ou igual a . Por exemplo, e .
Então, a função está pegando o valor de e subtraindo sua parte inteira. Isso nos dá a parte fracionária de . Por exemplo:
  • Se , então .
  • Se , então .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre limites. O limite existe se, quando se aproxima de por valores maiores (direita) e por valores menores (esquerda), ambos os limites laterais são iguais.
Então, precisamos ver se a parte fracionária de se comporta de maneira consistente quando se aproxima de por cima e por baixo.

Passo 4

Vamos analisar dois casos:
  1. Quando não é um número inteiro:
    • Suponha .
    • Se se aproxima de por cima (como 2.6, 2.7, …), a parte fracionária de se aproxima de 0.5.
    • Se se aproxima de por baixo (como 2.4, 2.3, …), a parte fracionária também se aproxima de 0.5.
    • Portanto, o limite existe e é igual a 0.5.
  2. Quando é um número inteiro:
    • Suponha .
    • Se se aproxima de por cima (como 3.1, 3.2, …), a parte fracionária de se aproxima de 0.
    • Se se aproxima de por baixo (como 2.9, 2.8, …), a parte fracionária de se aproxima de 0.9.
    • Nesse caso, os limites laterais são diferentes (0 e 0.9), então o limite não existe.

Passo 5

Então, juntando tudo:
  • Se não é inteiro, a parte fracionária de se aproxima de um valor único quando se aproxima de , então o limite existe.
  • Se é inteiro, os limites por cima e por baixo não combinam, então o limite não existe.

Resposta

O limite existe para todos os valores de que não são números inteiros. Em outras palavras, existe para todo exceto quando é inteiro.

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f(x) = { x² - c se x < 4, c x + 20 se x ≥ 4 }
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Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^3-1x^4+3 x-4 & se x neq 1 L & se x=1 em a=1
Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^2+xx+1 & se x neq-1 L & se x=-1 em a=-1