Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^2+xx+1 & se x neq-1 L & se x=-1 em a=-1

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre continuidade de funções. A questão pede para determinar o valor de f(x)=ll x^2+xx+1 & se x neq -1 L & se x = -1 que faz com que a função definida por:
seja contínua no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua em um ponto e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade em um ponto. Uma função é contínua no ponto limx to a f(x) = f(a) se o limite da função quando limx to -1 f(x) = f(-1) = L se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
No nosso caso, queremos que seja contínua em . Isso significa que precisamos que:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = x^2 + xx + 1 quando x^2 + x = x(x + 1) se aproxima de f(x) = x(x + 1)x + 1 . Olhando para a função f(x) = x para x neq -1 quando limx to -1 f(x) = limx to -1 x = -1 :
Podemos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, temos:
Podemos simplificar nos numerador e denominador, desde que :
Então, o limite quando se aproxima de é simplesmente:

Passo 4

Agora que temos o limite, sabemos que para a função ser contínua em L = -1 , o valor de deve ser igual a esse limite:

Resposta

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Em cada caso, determine L de modo que a função dada seja contínua no dado ponto a :
f(x)=ll x^3-1x^4+3 x-4 & se x neq 1 L & se x=1 em a=1
Seja f(x)=x-llbracket x rrbracket: Para quais valores de a existe lim x a f(x)
Verifique se é verdadeiro ou falso: |x - 1| < 10^(-1) => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1
Para quais valores delta > 0 são verdadeiras as afirmações: |x - 1| < delta => |f(x) - 3| < 10^(-1), onde f(x) = 4x - 1