Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros a, b e c para que o sistema admita solução.
(a) rx-2 y-z=a 2 x+y+3 z=b 4 x-3 y+z=c

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , e os parâmetros , e aparecem nos termos constantes. Nosso objetivo é descobrir quais relações entre , e fazem com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema na forma matricial. A forma geral de um sistema linear é A = 1 & -2 & -1 2 & 1 & 3 4 & -3 & 1 , x = x y z , d = a b c , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes. No nosso caso:

Passo 3

Para que o sistema tenha solução, a matriz dos coeficientes det(A) = 1 cdot 1 & 3 -3 & 1 - (-2) cdot 2 & 3 4 & 1 -1 cdot 2 & 1 4 & -3 deve ser invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante de 1 & 3 -3 & 1 = (1)(1) - (3)(-3) = 1 + 9 = 10 :
2 & 3 4 & 1 = (2)(1) - (3)(4) = 2 - 12 = -10
Calculando cada menor:
2 & 1 4 & -3 = (2)(-3) - (1)(4) = -6 - 4 = -10
det(A) = 1 cdot 10 - (-2) cdot (-10) -1 cdot (-10) = 10 - 20 + 10 = 0
Substituindo de volta:

Passo 4

Como o determinante de é zero ( ), a matriz não é invertível. Isso significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das relações entre , e . Vamos usar o método de consistência utilizando o posto das matrizes.

Passo 5

Vamos formar a matriz aumentada 1 & -2 & -1 & | & a 2 & 1 & 3 & | & b 4 & -3 & 1 & | & c :
Para que o sistema seja compatível (ou seja, tenha solução), o posto da matriz dos coeficientes deve ser igual ao posto da matriz aumentada . Vamos verificar se existe alguma relação entre , e que satisfaz essa condição.

Passo 6

Realizando operações elementares para simplificar a matriz aumentada:
  1. Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
1 & -2 & -1 & | & a 0 & 5 & 5 & | & b - 2a 4 & -3 & 1 & | & c
  1. Multiplicamos a primeira linha por 4 e subtraímos da terceira linha:
1 & -2 & -1 & | & a 0 & 5 & 5 & | & b - 2a 0 & 5 & 5 & | & c - 4a
Observamos que as segunda e terceira linhas são iguais, exceto nos termos constantes. Para que o sistema seja compatível, os termos constantes também devem ser iguais. Portanto:
b - 2a = c - 4a

Passo 7

Resolvendo a equação b - 2a = c - 4a b = c - 2a Rightarrow c = b + 2a :

Resposta

Para que o sistema tenha solução, os parâmetros devem satisfazer a relação .

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