Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros e para que o sistema admita solução.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas , e , e os parâmetros , e aparecem nos termos constantes. Nosso objetivo é descobrir quais relações entre , e fazem com que esse sistema tenha pelo menos uma solução. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, como matrizes e determinantes.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema na forma matricial. A forma geral de um sistema linear é , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes. No nosso caso:
Passo 3
Para que o sistema tenha solução, a matriz dos coeficientes deve ser invertível, ou seja, seu determinante deve ser diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada menor:
Substituindo de volta:
Passo 4
Como o determinante de é zero (), a matriz não é invertível. Isso significa que o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo das relações entre , e . Vamos usar o método de consistência utilizando o posto das matrizes.
Passo 5
Vamos formar a matriz aumentada :
Para que o sistema seja compatível (ou seja, tenha solução), o posto da matriz dos coeficientes deve ser igual ao posto da matriz aumentada . Vamos verificar se existe alguma relação entre , e que satisfaz essa condição.
Passo 6
Realizando operações elementares para simplificar a matriz aumentada:
Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por 4 e subtraímos da terceira linha:
Observamos que as segunda e terceira linhas são iguais, exceto nos termos constantes. Para que o sistema seja compatível, os termos constantes também devem ser iguais. Portanto:
Passo 7
Resolvendo a equação :
Resposta
Para que o sistema tenha solução, os parâmetros devem satisfazer a relação .