Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui o eixo como principal (de simetria) e passa pelo ponto . Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma parábola que passa pela origem (0,0), tem o eixo de simetria no eixo e também passa pelo ponto A(3, 3/4). Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola, além de determinar o foco, o vértice, a diretriz e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, como a parábola tem o eixo de simetria no eixo , sabemos que a equação geral dela vai ter a forma:
Aqui, é a distância entre o vértice e o foco da parábola.

Passo 3

Como a parábola passa pela origem (0,0), vamos substituir esses valores na equação para verificar:
Isso confirma que a origem é de fato o vértice da parábola, então o vértice é V(0,0).

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/4) que está na parábola para encontrar o valor de . Substituindo na equação:

Passo 5

Com o valor de encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola:

Passo 6

Agora, vamos determinar o foco. Como o vértice é (0,0) e , o foco estará a uma distância acima do vértice no eixo :

Passo 7

A diretriz é uma reta que fica a mesma distância do vértice, mas na direção oposta ao foco. Então, será uma linha horizontal abaixo do vértice:

Passo 8

Para esboçar o gráfico, sabemos que:
  • O vértice está em (0,0).
  • O foco está em (0,3).
  • A diretriz é a reta .
  • A parábola abre para cima, já que é positivo.
Traçando esses elementos, teremos uma parábola simétrica em relação ao eixo , passando pela origem e pelo ponto A(3, 3/4).

Resposta

A equação reduzida da parábola é . O vértice está na origem (0,0), o foco está em (0,3), a diretriz é a reta e o gráfico é uma parábola que abre para cima, simétrica em relação ao eixo , passando pelos pontos (0,0) e (3, 3/4).

Exercícios relacionados

Determine a equação reduzida da parábola e esboçe o gráfico conforme as informações dadas:
Vértice: V(-2, 3); foco:
Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros e para que o sistema admita solução.
(a)
Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros e para que o sistema admita solução.
(b)
Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico: