Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui o eixo
como principal (de simetria) e passa pelo ponto
. Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma parábola que passa pela origem (0,0), tem o eixo de simetria no eixo
e também passa pelo ponto A(3, 3/4). Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola, além de determinar o foco, o vértice, a diretriz e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, como a parábola tem o eixo de simetria no eixo
, sabemos que a equação geral dela vai ter a forma:
Aqui,
é a distância entre o vértice e o foco da parábola.
Passo 3
Como a parábola passa pela origem (0,0), vamos substituir esses valores na equação para verificar:
Isso confirma que a origem é de fato o vértice da parábola, então o vértice é V(0,0).
Passo 4
Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/4) que está na parábola para encontrar o valor de
. Substituindo na equação:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola:
Passo 6
Agora, vamos determinar o foco. Como o vértice é (0,0) e
, o foco estará a uma distância
acima do vértice no eixo
:
Passo 7
A diretriz é uma reta que fica a mesma distância
do vértice, mas na direção oposta ao foco. Então, será uma linha horizontal abaixo do vértice:
Passo 8
Para esboçar o gráfico, sabemos que:
- O vértice está em (0,0).
- O foco está em (0,3).
- A diretriz é a reta
. - A parábola abre para cima, já que
é positivo.
Traçando esses elementos, teremos uma parábola simétrica em relação ao eixo
, passando pela origem e pelo ponto A(3, 3/4).
Resposta
A equação reduzida da parábola é
. O vértice está na origem (0,0), o foco está em (0,3), a diretriz é a reta
e o gráfico é uma parábola que abre para cima, simétrica em relação ao eixo
, passando pelos pontos (0,0) e (3, 3/4).