Determine a equação reduzida da parábola que passa na origem, possui o eixo y como principal (de simetria) e passa pelo ponto A(3,3 / 4). Determine o foco, o vértice, a diretriz e esboce o gráfico.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma parábola que passa pela origem (0,0), tem o eixo de simetria no eixo y e também passa pelo ponto A(3, 3/4). Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa parábola, além de determinar o foco, o vértice, a diretriz e fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, como a parábola tem o eixo de simetria no eixo y, sabemos que a equação geral dela vai ter a forma:
x^2 = 4py
Aqui, p é a distância entre o vértice e o foco da parábola.

Passo 3

Como a parábola passa pela origem (0,0), vamos substituir esses valores na equação para verificar:
0^2 = 4p cdot 0
0 = 0
Isso confirma que a origem é de fato o vértice da parábola, então o vértice é V(0,0).

Passo 4

Agora, vamos usar o ponto A(3, 3/4) que está na parábola para encontrar o valor de p. Substituindo na equação:
(3)^2 = 4p cdot ( 34 )
9 = 3p
p = 3

Passo 5

Com o valor de p encontrado, podemos escrever a equação reduzida da parábola:
x^2 = 4 cdot 3 cdot y
x^2 = 12y

Passo 6

Agora, vamos determinar o foco. Como o vértice é (0,0) e p = 3, o foco estará a uma distância p acima do vértice no eixo y:
Foco: (0, p) = (0, 3)

Passo 7

A diretriz é uma reta que fica a mesma distância p do vértice, mas na direção oposta ao foco. Então, será uma linha horizontal abaixo do vértice:
Diretriz: y = -p = -3

Passo 8

Para esboçar o gráfico, sabemos que:
  • O vértice está em (0,0).
  • O foco está em (0,3).
  • A diretriz é a reta y = -3.
  • A parábola abre para cima, já que p é positivo.
Traçando esses elementos, teremos uma parábola simétrica em relação ao eixo y, passando pela origem e pelo ponto A(3, 3/4).

Resposta

A equação reduzida da parábola é y. O vértice está na origem (0,0), o foco está em (0,3), a diretriz é a reta e o gráfico é uma parábola que abre para cima, simétrica em relação ao eixo , passando pelos pontos (0,0) e (3, 3/4).

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