Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros e para que o sistema admita solução.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a relação entre os parâmetros e de modo que o sistema de equações tenha solução. Estamos trabalhando com um sistema de 3 equações e 4 incógnitas (). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações:
A matriz aumentada desse sistema é:
Passo 3
Para verificar se o sistema tem solução, precisamos ver se o posto (número de linhas independentes) da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Se sim, o sistema é compatível (tem solução).
Vamos fazer operações de linhas para simplificar a matriz:
Primeira operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o da segunda equação.
Segunda operação: Subtrair 7 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o da terceira equação.
Passo 4
Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas dividindo pela fator comum:
Dividir a segunda linha por -9:
Dividir a terceira linha por -13:
Passo 5
Agora, vamos ver a consistência das duas últimas linhas. Para que haja solução, elas precisam ser compatíveis. Ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre e :
Multiplicando cruzado:
Reorganizando:
Resposta
A relação necessária para que o sistema tenha solução é: