Em cada caso, determine a relação entre os parâmetros a, b e c para que o sistema admita solução.
(b) cx+2 y+3 z- 3 w=a 2 x-5 y-3 z+12 w=b 7 x+y+8 z+ 5 w=c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a relação entre os parâmetros e de modo que o sistema de equações tenha solução. Estamos trabalhando com um sistema de 3 equações e 4 incógnitas ( ). Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre sistemas lineares e condições de consistência.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma matricial. Isso ajuda a visualizar melhor as equações:
x + 2y + 3z - 3w = a 2x - 5y - 3z + 12w = b 7x + y + 8z + 5w = c
A matriz aumentada desse sistema é:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 2 & -5 & -3 & 12 & | & b 7 & 1 & 8 & 5 & | & c

Passo 3

Para verificar se o sistema tem solução, precisamos ver se o posto (número de linhas independentes) da matriz dos coeficientes é igual ao posto da matriz aumentada. Se sim, o sistema é compatível (tem solução).
Vamos fazer operações de linhas para simplificar a matriz:
  1. Primeira operação: Subtrair 2 vezes a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & -9 & -9 & 18 & | & b - 2a 7 & 1 & 8 & 5 & | & c da segunda equação.
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & -9 & -9 & 18 & | & b - 2a 0 & -13 & -13 & 26 & | & c - 7a
  1. Segunda operação: Subtrair 7 vezes a primeira linha da terceira linha para eliminar o da terceira equação.

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda e terceira linhas dividindo pela fator comum:
  • Dividir a segunda linha por -9:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & 2a - b9 0 & -13 & -13 & 26 & | & c - 7a
  • Dividir a terceira linha por -13:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & 1 & 1 & -2 & | & 2a - b9 0 & 1 & 1 & -2 & | & 7a - c13

Passo 5

Agora, vamos ver a consistência das duas últimas linhas. Para que haja solução, elas precisam ser compatíveis. Ou seja:
2a - b9 = 7a - c13
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre 13(2a - b) = 9(7a - c) e 26a - 13b = 63a - 9c :
Multiplicando cruzado:
-13b + 9c = 63a - 26a
-13b + 9c = 37a
Reorganizando:

Resposta

A relação necessária para que o sistema tenha solução é:
37,a - 13,b + 9,c = 0
Ou, de forma rearranjada:
37a = 13b - 9c

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