Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
x^2-2 x-12 y+13=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente precisa encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e desenhar o gráfico da parábola dada pela equação . Para isso, vamos usar a teoria das parábolas, especificamente a forma padrão da equação e o método de completar o quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem x^2 - 2x = 12y -13 . Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para a parte de x^2 - 2x + 1 = 12y -13 +1 . Para completar o quadrado da expressão (x -1)^2 = 12y -12 , pegamos metade do coeficiente de (x -1)^2 = 12(y -1) , que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Assim:
Simplificando:
Ou seja:

Passo 4

Comparando com a forma padrão da parábola h = 1 , onde k = 1 é o vértice e 4p = 12 é a distância do vértice ao foco.
No nosso caso, temos:
p = 3 , , e então

Passo 5

Agora que temos (h, k + p) = (1, 1 + 3) = (1, 4) , e sabendo que a parábola abre para cima (porque o coeficiente de é positivo), podemos encontrar o foco adicionando à coordenada do vértice.
Portanto, o foco está em:

Passo 6

A diretriz é uma reta horizontal que fica y = k - p = 1 - 3 = -2 unidades abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz será:

Resposta

O vértice da parábola é , o foco está em , a equação da diretriz é , e o gráfico da parábola é uma curva que abre para cima com esses parâmetros.

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