Para cada uma das parábolas a seguir, encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e construir o gráfico:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre parábolas! A gente precisa encontrar o foco, o vértice, a equação da diretriz e desenhar o gráfico da parábola dada pela equação
. Para isso, vamos usar a teoria das parábolas, especificamente a forma padrão da equação e o método de completar o quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar os termos que envolvem
. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para a parte de
. Para completar o quadrado da expressão
, pegamos metade do coeficiente de
, que é -1, e elevamos ao quadrado, ficando 1. Assim:
Simplificando:
Ou seja:
Passo 4
Comparando com a forma padrão da parábola
, onde
é o vértice e
é a distância do vértice ao foco.
No nosso caso, temos:
Passo 5
Agora que temos
, e sabendo que a parábola abre para cima (porque o coeficiente de
é positivo), podemos encontrar o foco adicionando
à coordenada
do vértice.
Portanto, o foco está em:
Passo 6
A diretriz é uma reta horizontal que fica
unidades abaixo do vértice. Então, a equação da diretriz será:
Resposta
O vértice da parábola é
, o foco está em
, a equação da diretriz é
, e o gráfico da parábola é uma curva que abre para cima com esses parâmetros.