Em cada caso, determine se W é subespaço de V. Justifique.
a) V=Mn e W=A in Mn: tr(A)=0.
b) V=R^3 e W=(x, y, z) in R^3: x y=0.
c) V=F(R, R) e W é o conjunto das funções f: R R que se anulam em todos os pontos de [0,1].
d) V=M3 e W é o conjunto das matrizes 3 times 3 cujas entradas são racionais.
e) V=R^5 e W é o conjunto dos vetores de R^5 que têm duas ou mais coordenadas nulas.
f) V=R[X] e W é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.
g) V=P3(R) e W é o conjunto dos polinômios de P3(R) com coeficientes inteiros.
h) V=R^3 e W é o plano definido pela equação 2 x-3 y+5 z=0.
i) V=F(R, R) e W é o conjunto das funções f: R R que se anulam em algum ponto.
j) V=C e W é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
k) V=R[X] e W é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.
l) V=C e W=a+b i in C: a b=0.

Passo 1

Vamos analisar o item a).
  • Enunciado: Temos , que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais, e , o conjunto de matrizes com traço igual a zero.
  • Matéria: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
  • O que precisamos: Verificar se satisfaz as três condições para ser um subespaço de :
    1. O vetor zero está em .
    2. é fechado sob adição.
    3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial é um subconjunto que é não vazio e fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
  1. Vetor Zero: O vetor zero de deve estar em .
  2. Fechamento por Adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechamento por Escalar: Se está em e é um escalar, então está em .

Passo 3

1. Verificando o Vetor Zero:
  • O vetor zero em é a matriz onde todas as entradas são zero.
  • O traço de é , então .
2. Verificando o Fechamento por Adição:
  • Se , então e .
  • O traço da soma é .
  • Portanto, .
3. Verificando o Fechamento por Escalar:
  • Se e é um escalar, então .
  • Assim, .

Passo 4

Como todas as três condições para ser um subespaço são satisfeitas, podemos concluir que é realmente um subespaço de .

Resposta

Sim, é um subespaço de .

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