Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
a)
e
.
b)
e
.
c)
e
é o conjunto das funções
que se anulam em todos os pontos de
.
d)
e
é o conjunto das matrizes
cujas entradas são racionais.
e)
e
é o conjunto dos vetores de
que têm duas ou mais coordenadas nulas.
f)
e
é o conjunto dos polinômios cuja soma dos coeficientes é zero.
g)
e
é o conjunto dos polinômios de
com coeficientes inteiros.
h)
e
é o plano definido pela equação
.
i)
e
é o conjunto das funções
que se anulam em algum ponto.
j)
e
é o conjunto dos números complexos com parte real igual à parte imaginária.
k)
e
é o conjunto dos polinômios com alguma raiz inteira.
l)
e
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Passo 1
Vamos analisar o item a).
- Enunciado: Temos
, que é o espaço de todas as matrizes com entradas reais, e , o conjunto de matrizes com traço igual a zero. - Matéria: Álgebra Linear, especificamente sobre subespaços vetoriais.
- O que precisamos: Verificar se
satisfaz as três condições para ser um subespaço de : - O vetor zero está em
. -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
- O vetor zero está em
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço de um espaço vetorial
é um subconjunto
que é não vazio e fechado sob as operações de adição e multiplicação por escalar. Isso significa que:
- Vetor Zero: O vetor zero de
deve estar em . - Fechamento por Adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechamento por Escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Passo 3
1. Verificando o Vetor Zero:
- O vetor zero em
é a matriz onde todas as entradas são zero. - O traço de
é , então .
2. Verificando o Fechamento por Adição:
- Se
, então e . - O traço da soma é
. - Portanto,
.
3. Verificando o Fechamento por Escalar:
- Se
e é um escalar, então . - Assim,
.
Passo 4
Como todas as três condições para ser um subespaço são satisfeitas, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
.