Sejam
e
transformações lineares. Prove que
é transformação linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a composição de duas transformações lineares é também uma transformação linear. Aqui, temos duas funções lineares:
e
. Nosso objetivo é mostrar que
também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que faz uma transformação ser linear, ou seja, verificar se ela preserva adição de vetores e multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função
é linear se, para quaisquer vetores
no espaço de partida e qualquer escalar
, as seguintes condições são verdadeiras:
-
(preserva a adição) -
(preserva a multiplicação por escalar)
Vamos verificar essas duas propriedades para a composição
.
Passo 3
Primeiro, vamos verificar se
preserva a adição. Tomemos dois vetores
e
em
. Aplicando a composição, temos:
Como
é linear, podemos separar a soma dentro:
Agora, como
também é linear, podemos distribuir:
Isso mostra que
preserva a adição.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
preserva a multiplicação por escalar. Tomemos um vetor
em
e um escalar
. Aplicando a composição, temos:
Como
é linear, podemos tirar o escalar para fora:
E como
também é linear, novamente tiramos o escalar para fora:
Isso mostra que
preserva a multiplicação por escalar.
Resposta
Assim, provamos que
é realmente uma transformação linear.