Sejam T: U V e L: V W transformações lineares. Prove que L circ T: U W é transformação linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para provar que a composição de duas transformações lineares é também uma transformação linear. Aqui, temos duas funções lineares: e . Nosso objetivo é mostrar que também é uma transformação linear. Para isso, vamos precisar entender o que faz uma transformação ser linear, ou seja, verificar se ela preserva adição de vetores e multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma transformação linear. Uma função é linear se, para quaisquer vetores no espaço de partida e qualquer escalar , as seguintes condições são verdadeiras:
  1. (preserva a adição)
  2. (preserva a multiplicação por escalar)
Vamos verificar essas duas propriedades para a composição .

Passo 3

Primeiro, vamos verificar se (L circ T)(u1 + u2) = L(T(u1 + u2)) preserva a adição. Tomemos dois vetores L(T(u1) + T(u2)) e L(T(u1)) + L(T(u2)) = (L circ T)(u1) + (L circ T)(u2) em . Aplicando a composição, temos:
Como é linear, podemos separar a soma dentro:
Agora, como também é linear, podemos distribuir:
Isso mostra que preserva a adição.

Passo 4

Agora, vamos verificar se (L circ T)(cu) = L(T(cu)) preserva a multiplicação por escalar. Tomemos um vetor L(cT(u)) em cL(T(u)) = c(L circ T)(u) e um escalar . Aplicando a composição, temos:
Como é linear, podemos tirar o escalar para fora:
E como também é linear, novamente tiramos o escalar para fora:
Isso mostra que preserva a multiplicação por escalar.

Resposta

Assim, provamos que é realmente uma transformação linear.

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