Para quais valores de k os vetores (k^7, 1,-1),(3, k-1,2) e (2,0,0) são linearmente dependentes (L.D.) em R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! A gente precisa descobrir para quais valores de os vetores , e são linearmente dependentes no espaço tridimensional . Isso envolve entender um pouco sobre dependência linear de vetores e como determinar quando isso acontece.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Três vetores são linearmente dependentes se pelo menos um deles pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Uma maneira eficiente de verificar isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for zero, os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores como colunas:
k^7 & 3 & 2 1 & k-1 & 0 -1 & 2 & 0
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembre-se que para uma matriz , o determinante pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a expansão por cofatores para facilitar.

Passo 4

Calculando o determinante:
D = k^7 cdot k-1 & 0 2 & 0 - 3 cdot 1 & 0 -1 & 0 + 2 cdot 1 & k-1 -1 & 2
Agora, vamos calcular cada um desses menores:
  1. Para k-1 & 0 2 & 0 = (k-1)(0) - (2)(0) = 0 :
1 & 0 -1 & 0 = (1)(0) - (-1)(0) = 0
  1. Para o termo com 3:
1 & k-1 -1 & 2 = (1)(2) - (-1)(k-1) = 2 + (k - 1) = k + 1
  1. Para o termo com 2:
D = k^7 cdot 0 - 3 cdot 0 + 2 cdot (k + 1) = 2(k + 1)
Substituindo esses valores de volta no determinante:

Passo 5

Agora, para que os vetores sejam linearmente dependentes, o determinante deve ser igual a zero:
2(k + 1) = 0
Resolvendo para k + 1 = 0 implies k = -1 :

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes quando .

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