Mostre que
é uma base de
. Quais são as coordenadas de
em relação à base
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que o conjunto de vetores β = {(1,1,1), (-1,1,0), (1,0,-1)} forma uma base para o espaço tridimensional ℝ³. Além disso, a gente precisa descobrir quais são as coordenadas do vetor v = (1,0,0) em relação a essa base β. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre bases, independência linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, pra um conjunto de vetores ser uma base de ℝ³, ele precisa satisfazer dois critérios importantes:
- Ser linearmente independente: Nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros.
- Gerar ℝ³: Qualquer vetor no espaço tridimensional pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base.
Então, vamos verificar esses dois pontos para o conjunto β.
Passo 3
Vamos começar verificando se os vetores de β são linearmente independentes. Para isso, consideramos uma combinação linear igual a zero:
a*(1,1,1) + b*(-1,1,0) + c*(1,0,-1) = (0,0,0)
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
- a - b + c = 0
- a + b = 0
- a - c = 0
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, a + b = 0, então b = -a.
Da terceira equação, a - c = 0, então c = a.
Substituindo b e c na primeira equação:
a - (-a) + a = 0
a + a + a = 0
3a = 0
a = 0
a + a + a = 0
3a = 0
a = 0
Com a = 0, então b = -0 = 0 e c = 0.
Como a única solução é a = b = c = 0, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como temos três vetores em ℝ³ que são linearmente independentes, eles também geram ℝ³. Portanto, o conjunto β é uma base de ℝ³.
Agora, vamos encontrar as coordenadas do vetor v = (1,0,0) em relação a essa base β. Isso significa que queremos encontrar escalares a, b e c tais que:
a*(1,1,1) + b*(-1,1,0) + c*(1,0,-1) = (1,0,0)
Vamos montar o sistema de equações:
- a - b + c = 1
- a + b = 0
- a - c = 0
Da segunda equação, a + b = 0, então b = -a.
Da terceira equação, a - c = 0, então c = a.
Substituindo b e c na primeira equação:
a - (-a) + a = 1
a + a + a = 1
3a = 1
a = 1/3
a + a + a = 1
3a = 1
a = 1/3
Então, b = -1/3 e c = 1/3.
Resposta
As coordenadas de v = (1,0,0) em relação à base β são (
,
,
).