Sejam v1, ldots, vn vetores LI. Prove que também são LI os seguintes vetores
v1, v2-v1, ldots, vn-v1

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é que temos vetores que são linearmente independentes (LI). A gente precisa provar que outro conjunto de vetores formado por também é linearmente independente. Vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se , então necessariamente .

Passo 3

Agora, vamos considerar os vetores que a gente precisa provar que são LI: b1v1 + b2(v2 - v1) + ldots + bn(vn - v1) = 0 . Vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:

Passo 4

Vamos expandir essa expressão para simplificar:
b1v1 + b2v2 - b2v1 + ldots + bnvn - bnv1 = 0
Agrupando os termos com (b1 - b2 - ldots - bn)v1 + b2v2 + ldots + bnvn = 0 :

Passo 5

Como sabemos que os vetores b1 - b2 - ldots - bn = 0 são linearmente independentes, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
b2 = 0
vdots
bn = 0

Passo 6

Da equação e sabendo que todos os são zero, concluímos que também.

Resposta

Portanto, todos os coeficientes são zero, o que prova que os vetores são linearmente independentes.

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