Sejam
vetores LI. Prove que também são LI os seguintes vetores
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é que temos
vetores
que são linearmente independentes (LI). A gente precisa provar que outro conjunto de vetores formado por
também é linearmente independente. Vamos usar os conceitos de combinação linear e independência linear para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Isso quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Em outras palavras, se
, então necessariamente
.
Passo 3
Agora, vamos considerar os vetores que a gente precisa provar que são LI:
. Vamos supor que existe uma combinação linear desses vetores que resulta no vetor zero:
Passo 4
Vamos expandir essa expressão para simplificar:
Agrupando os termos com
:
Passo 5
Como sabemos que os vetores
são linearmente independentes, a única solução para essa combinação linear ser zero é que todos os coeficientes sejam zero. Portanto:
Passo 6
Da equação
e sabendo que todos os
são zero, concluímos que
também.
Resposta
Portanto, todos os coeficientes
são zero, o que prova que os vetores
são linearmente independentes.