Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de .

Passo 1

Vamos resolver juntos este exercício! A questão pede para determinar se o conjunto é um subespaço de , onde é o conjunto de todas as funções de para ( ) e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e verificar se os satisfaz.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um conjunto é considerado um subespaço de se:
  1. Não está vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
  2. É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
  3. É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .

Passo 3

1. não está vazio:
O vetor zero em é a função que é zero para todo , ou seja, para todo . Esta função pertence a porque se anula em todos os pontos de . Portanto, não está vazio.

Passo 4

2. é fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções e em . Isso significa que e para todo .
Agora, consideremos a função . Para qualquer :
Então, para todo , o que significa que pertence a . Logo, é fechado sob adição.

Passo 5

3. é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função em e um número real . Queremos ver se a função também está em .
Para qualquer :
Portanto, para todo , o que significa que pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(G) 3
Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
Determine a dimensão de
.
(D) 3
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em algum ponto.