Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique. e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de .
Passo 1
Vamos resolver juntos este exercício! A questão pede para determinar se o conjunto é um subespaço de , onde é o conjunto de todas as funções de para () e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de . Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e verificar se os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um conjunto é considerado um subespaço de se:
Não está vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
É fechado sob adição: Se e estão em , então também está em .
É fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto .
Passo 3
1. não está vazio:
O vetor zero em é a função que é zero para todo , ou seja, para todo . Esta função pertence a porque se anula em todos os pontos de . Portanto, não está vazio.
Passo 4
2. é fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções e em . Isso significa que e para todo .
Agora, consideremos a função . Para qualquer :
Então, para todo , o que significa que pertence a . Logo, é fechado sob adição.
Passo 5
3. é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função em e um número real . Queremos ver se a função também está em .
Para qualquer :
Portanto, para todo , o que significa que pertence a . Assim, é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que é um subespaço de .