Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto das funções
que se anulam em todos os pontos de
.
Passo 1
Vamos resolver juntos este exercício! A questão pede para determinar se o conjunto
é um subespaço de
, onde
é o conjunto de todas as funções de
para
(
) e
é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os critérios que definem um subespaço vetorial e verificar se
os satisfaz.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um subespaço vetorial. Em álgebra linear, um conjunto
é considerado um subespaço de
se:
- Não está vazio: Deve conter pelo menos o vetor zero.
- É fechado sob adição: Se
e estão em , então também está em . - É fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também está em .
Vamos verificar cada um desses pontos para o conjunto
.
Passo 3
1.
não está vazio:
O vetor zero em
é a função que é zero para todo
, ou seja,
para todo
. Esta função pertence a
porque se anula em todos os pontos de
. Portanto,
não está vazio.
Passo 4
2.
é fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções
e
em
. Isso significa que
e
para todo
.
Agora, consideremos a função
. Para qualquer
:
Então,
para todo
, o que significa que
pertence a
. Logo,
é fechado sob adição.
Passo 5
3.
é fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função
em
e um número real
. Queremos ver se a função
também está em
.
Para qualquer
:
Portanto,
para todo
, o que significa que
pertence a
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.