Considere beta=v1, v2, v3 subset R^5 e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se beta é LD, então S2 tem infinitas solução.
II - Se beta é LD, então S1 tem infinitas soluções.
III - Se beta é LI, então S2 tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto de vetores beta = v1, v2, v3 no espaço R^5. A gente tem dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
S1:[lll v1 & v2 & v3 mid 0 ] e S2:[ll v1 & v2 mid v3 ]
Nos são apresentadas três afirmativas sobre a dependência linear (LD) e independência linear (LI) desses vetores e as soluções dos sistemas. Vamos precisar entender o que significa LD e LI, além de como isso afeta as soluções dos sistemas S1 e S2.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente dependentes (LD) e linearmente independentes (LI).
  • Dependentes Linearmente (LD): Significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) onde uma combinação dos vetores resulta no vetor zero.
  • Independentes Linearmente (LI): Significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Esses conceitos são fundamentais para entender as soluções dos sistemas S1 e S2.

Passo 3

Vamos analisar cada afirmativa:
I - Se beta é LD, então S2 tem infinitas soluções.
Aqui, S2 é o sistema onde combinamos v1 e v2 para obter v3. Se os vetores são linearmente dependentes, significa que pelo menos um vetor é combinação dos outros. Isso implica que há múltumas maneiras de expressar v3 como combinação de v1 e v2, resultando em infinitas soluções. Então, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

II - Se beta é LD, então S1 tem infinitas soluções.
S1 é o sistema homogêneo [v1 v2 v3 | 0]. Se os vetores são LD, isso significa que existe uma combinação não trivial deles que resulta no vetor zero. Em sistemas homogêneos, se existem combinações não triviais que solucionam o sistema, então há infinitas soluções. Assim, a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 5

III - Se beta é LI, então S2 tem solução única.
Se beta é LI, significa que não há combinação não trivial dos vetores que resulte em 0. No contexto do sistema S2, isso implica que a única solução para v3 = av1 + bv2 é a solução trivial, onde os coeficientes a e b são únicos. Portanto, o sistema S2 terá uma solução única quando os vetores são LI. Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados