Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um conjunto de vetores no espaço . A gente tem dois sistemas lineares representados por matrizes aumentadas:
Nos são apresentadas três afirmativas sobre a dependência linear (LD) e independência linear (LI) desses vetores e as soluções dos sistemas. Vamos precisar entender o que significa LD e LI, além de como isso afeta as soluções dos sistemas e .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são vetores linearmente dependentes (LD) e linearmente independentes (LI).
  • Dependentes Linearmente (LD): Significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Em outras palavras, existe uma relação não trivial (com pelo menos um coeficiente diferente de zero) onde uma combinação dos vetores resulta no vetor zero.
  • Independentes Linearmente (LI): Significa que a única combinação linear que resulta no vetor zero é a combinação trivial, onde todos os coeficientes são zero.
Esses conceitos são fundamentais para entender as soluções dos sistemas e .

Passo 3

Vamos analisar cada afirmativa:
I - Se é LD, então tem infinitas soluções.
Aqui, é o sistema onde combinamos e para obter . Se os vetores são linearmente dependentes, significa que pelo menos um vetor é combinação dos outros. Isso implica que há múltumas maneiras de expressar como combinação de e , resultando em infinitas soluções. Então, a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
é o sistema homogêneo . Se os vetores são LD, isso significa que existe uma combinação não trivial deles que resulta no vetor zero. Em sistemas homogêneos, se existem combinações não triviais que solucionam o sistema, então há infinitas soluções. Assim, a afirmativa II também é verdadeira.

Passo 5

III - Se é LI, então tem solução única.
Se é LI, significa que não há combinação não trivial dos vetores que resulte em . No contexto do sistema , isso implica que a única solução para é a solução trivial, onde os coeficientes e são únicos. Portanto, o sistema terá uma solução única quando os vetores são LI. Logo, a afirmativa III é verdadeira.

Resposta

Todas as afirmativas I, II e III são verdadeiras.

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