Determine a dimensão de
span[r1 -2 2 1],[r2 -5 5 4],[r0 -1 -2 4],[r2 -2 -4 2].
(D) 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão do espaço gerado (ou span) por quatro vetores no espaço de quatro dimensões, ℝ⁴. Para isso, vamos precisar entender sobre independência linear e como determinar quantos desses vetores são realmente independente entre si. Isso vai nos ajudar a saber a dimensão desse espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os vetores que a gente tem em forma de uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
A = 1 & 2 & 0 & 2 -2 & -5 & -1 & -2 2 & 5 & -2 & -4 1 & 4 & 4 & 2

Passo 3

Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz a uma forma escalonada por linhas usando operações elementares (troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero, e adição de múltiplos de uma linha a outra). Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são independentes.

Passo 4

Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 na primeira linha, primeira coluna, então vamos zerar os outros elementos dessa coluna:
  1. Multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à segunda linha:
R2 = R2 + 2R1 Rightarrow [ -2 + 2(1), -5 + 2(2), -1 + 2(0), -2 + 2(2) ] = [0, -1, -1, 2]
  1. Multiplicamos a primeira linha por -2 e adicionamos à terceira linha:
R3 = R3 - 2R1 Rightarrow [2 - 2(1), 5 - 2(2), -2 - 2(0), -4 - 2(2)] = [0, 1, -2, -8]
  1. Multiplicamos a primeira linha por -1 e adicionamos à quarta linha:
R4 = R4 - R1 Rightarrow [1 - 1(1), 4 - 1(2), 4 - 1(0), 2 - 1(2)] = [0, 2, 4, 0]
A matriz fica assim:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & -1 & -1 & 2 0 & 1 & -2 & -8 0 & 2 & 4 & 0

Passo 5

Agora, vamos para a segunda coluna. Nosso objetivo é ter um 1 nessa posição e zerar os outros. Primeiro, multiplicamos a segunda linha por -1:
R2 = -1 cdot R2 Rightarrow [0, 1, 1, -2]
Então, usamos a segunda linha para zerar os outros elementos da segunda coluna:
  1. Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + R2 Rightarrow [0, 1 + 1, -2 + 1, -8 + (-2)] = [0, 2, -1, -10]
  1. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
R4 = R4 - 2R2 Rightarrow [0, 2 - 2(1), 4 - 2(1), 0 - 2(-2)] = [0, 0, 2, 4]
A matriz agora fica:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & -1 & -10 0 & 0 & 2 & 4

Passo 6

Vamos para a terceira coluna. Queremos ter um 1 nessa posição. Primeiro, dividimos a terceira linha por 2:
R4 = 12 R4 Rightarrow [0, 0, 1, 2]
Agora, usamos a quarta linha para zerar os outros elementos da terceira coluna:
  1. Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
R2 = R2 - R4 Rightarrow [0, 1, 1 - 1, -2 - 2] = [0, 1, 0, -4]
  1. Subtraímos a quarta linha da primeira linha, multiplicada por 0 (nesse caso, não muda):
R1 = R1 - 0 cdot R4 = R1
A matriz fica:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -4 0 & 2 & -1 & -10 0 & 0 & 1 & 2

Passo 7

Finalmente, vamos usar a terceira linha para zerar os elementos acima dela:
  1. Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
R3 = R3 - 2R2 Rightarrow [0, 2 - 2(1), -1 - 2(0), -10 - 2(-4)] = [0, 0, -1, -2]
  1. Agora, adicionamos a terceira linha à quarta linha multiplicada por 1:
R3 = R3 (já está simplificada) áá
A matriz final escalonada fica:
A = 1 & 2 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 1 & 2

Passo 8

Observando a matriz final, vemos que temos 3 linhas não-nulas (as primeiras três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero). Isso significa que temos 3 vetores independentes no conjunto original. Portanto, a dimensão do espaço gerado por esses vetores é 3.

Resposta

A dimensão do espaço gerado pelos vetores é 3.

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