Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir a dimensão do espaço gerado (ou span) por quatro vetores no espaço de quatro dimensões, ℝ⁴. Para isso, vamos precisar entender sobre independência linear e como determinar quantos desses vetores são realmente independente entre si. Isso vai nos ajudar a saber a dimensão desse espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os vetores que a gente tem em forma de uma matriz. Cada vetor será uma coluna dessa matriz:
Passo 3
Agora, nosso objetivo é reduzir essa matriz a uma forma escalonada por linhas usando operações elementares (troca de linhas, multiplicação de uma linha por um número diferente de zero, e adição de múltiplos de uma linha a outra). Isso vai nos ajudar a identificar quais vetores são independentes.
Passo 4
Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 na primeira linha, primeira coluna, então vamos zerar os outros elementos dessa coluna:
Multiplicamos a primeira linha por 2 e adicionamos à segunda linha:
Multiplicamos a primeira linha por -2 e adicionamos à terceira linha:
Multiplicamos a primeira linha por -1 e adicionamos à quarta linha:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda coluna. Nosso objetivo é ter um 1 nessa posição e zerar os outros. Primeiro, multiplicamos a segunda linha por -1:
Então, usamos a segunda linha para zerar os outros elementos da segunda coluna:
Adicionamos a segunda linha à terceira linha:
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da quarta linha:
A matriz agora fica:
Passo 6
Vamos para a terceira coluna. Queremos ter um 1 nessa posição. Primeiro, dividimos a terceira linha por 2:
Agora, usamos a quarta linha para zerar os outros elementos da terceira coluna:
Subtraímos a quarta linha da segunda linha:
Subtraímos a quarta linha da primeira linha, multiplicada por 0 (nesse caso, não muda):
A matriz fica:
Passo 7
Finalmente, vamos usar a terceira linha para zerar os elementos acima dela:
Subtraímos 2 vezes a segunda linha da terceira linha:
Agora, adicionamos a terceira linha à quarta linha multiplicada por 1:
áá
A matriz final escalonada fica:
Passo 8
Observando a matriz final, vemos que temos 3 linhas não-nulas (as primeiras três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero). Isso significa que temos 3 vetores independentes no conjunto original. Portanto, a dimensão do espaço gerado por esses vetores é 3.