Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em algum ponto.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com , que é o conjunto de todas as funções que mapeiam números reais para números reais. O conjunto é formado pelas funções que se anulam em algum ponto, ou seja, existem pelo menos um valor onde . Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de .

Passo 2

Para verificar se é um subespaço de , precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
  1. Contém o vetor zero: O subespaço deve incluir o vetor zero do espaço .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a função que sempre retorna zero, ou seja, para todo . Claramente, essa função se anula em todos os pontos, então ela está em . Portanto, contém o vetor zero.
2. Fechado sob multiplicação por escalar:
Considere uma função em , ou seja, existe algum tal que . Agora, se multiplicarmos por um escalar , temos . Assim, também se anula no ponto e está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
3. Fechado sob adição:
Aqui é que podemos encontrar um problema. Suponha que temos duas funções e em . Então, existem pontos e tais que e . Agora, consideremos a função . Vamos ver onde ela se anula:
  • Em : . A menos que , este ponto não garante que se anule.
  • Em : . Sem , novamente, não garantimos que se anule.
Isso significa que pode não se anular em nenhum ponto, mesmo que e sejam funções que se anulam. Portanto, não é fechado sob adição.

Resposta

Como não é fechado sob adição, podemos concluir que não é um subespaço de .

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Determine a dimensão de
.
(D) 3
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de .
Determine a dimensão de
.
(B) 1
Seja um espaço vetorial de dimensão 4. Considere as afirmativas abaixo:
I - Nenhum subconjunto de com 3 vetores gera .
II - Todo conjunto gerador de com 4 vetores é uma base de .
III - Todo subconjunto de com 5 vetores é LD.