Em cada caso, determine se
é subespaço de
. Justifique.
e
é o conjunto das funções
que se anulam em algum ponto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com
, que é o conjunto de todas as funções que mapeiam números reais para números reais. O conjunto
é formado pelas funções
que se anulam em algum ponto, ou seja, existem pelo menos um valor
onde
. Nosso objetivo é determinar se
é um subespaço de
.
Passo 2
Para verificar se
é um subespaço de
, precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é um subespaço se:
- Contém o vetor zero: O subespaço deve incluir o vetor zero do espaço
. - Fechado sob adição: Se
e estão em , então também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se
está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em
é a função que sempre retorna zero, ou seja,
para todo
. Claramente, essa função se anula em todos os pontos, então ela está em
. Portanto,
contém o vetor zero.
2. Fechado sob multiplicação por escalar:
Considere uma função
em
, ou seja, existe algum
tal que
. Agora, se multiplicarmos
por um escalar
, temos
. Assim,
também se anula no ponto
e está em
. Portanto,
é fechado sob multiplicação por escalar.
3. Fechado sob adição:
Aqui é que podemos encontrar um problema. Suponha que temos duas funções
e
em
. Então, existem pontos
e
tais que
e
. Agora, consideremos a função
. Vamos ver onde ela se anula:
- Em
: . A menos que , este ponto não garante que se anule. - Em
: . Sem , novamente, não garantimos que se anule.
Isso significa que
pode não se anular em nenhum ponto, mesmo que
e
sejam funções que se anulam. Portanto,
não é fechado sob adição.
Resposta
Como
não é fechado sob adição, podemos concluir que
não é um subespaço de
.