Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique. e é o conjunto das funções que se anulam em algum ponto.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com , que é o conjunto de todas as funções que mapeiam números reais para números reais. O conjunto é formado pelas funções que se anulam em algum ponto, ou seja, existem pelo menos um valor onde . Nosso objetivo é determinar se é um subespaço de .
Passo 2
Para verificar se é um subespaço de , precisamos lembrar dos critérios que definem um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é um subespaço se:
Contém o vetor zero: O subespaço deve incluir o vetor zero do espaço .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um número real, então também deve estar em .
Vamos verificar cada um desses critérios para .
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
O vetor zero em é a função que sempre retorna zero, ou seja, para todo . Claramente, essa função se anula em todos os pontos, então ela está em . Portanto, contém o vetor zero.
2. Fechado sob multiplicação por escalar:
Considere uma função em , ou seja, existe algum tal que . Agora, se multiplicarmos por um escalar , temos . Assim, também se anula no ponto e está em . Portanto, é fechado sob multiplicação por escalar.
3. Fechado sob adição:
Aqui é que podemos encontrar um problema. Suponha que temos duas funções e em . Então, existem pontos e tais que e . Agora, consideremos a função . Vamos ver onde ela se anula:
Em : . A menos que , este ponto não garante que se anule.
Em : . Sem , novamente, não garantimos que se anule.
Isso significa que pode não se anular em nenhum ponto, mesmo que e sejam funções que se anulam. Portanto, não é fechado sob adição.
Resposta
Como não é fechado sob adição, podemos concluir que não é um subespaço de .