Seja S o conjunto dos (x1, ldots, x19) in R^19 tais que:
c x5=x2 x15=x7 x12=x13 x5-x15=x2-x7
A dimensão de S é:
(G) 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um conjunto de vetores em que satisfazem algumas equações. Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a dimensão de um conjunto significa. Em álgebra linear, a dimensão de um espaço vetorial é o número de variáveis livres que podemos escolher quando resolvemos um sistema de equações que define esse espaço.

Passo 3

Dado que estamos trabalhando em x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 , temos 19 variáveis . O conjunto é definido pelas seguintes equações:
Vamos analisar quantas dessas equações são independentes, ou seja, que realmente restringem as variáveis de forma única.

Passo 4

Observamos as primeiras três equações:
Essas três equações definem relações diretas entre pares de variáveis. A quarta equação é:
Vamos ver se essa quarta equação é independente das primeiras três.

Passo 5

Substituindo x2 - x7 = x2 - x7 e na quarta equação:
Isso nos dá uma verdade matemática, que não adiciona nenhuma nova restrição. Ou seja, a quarta equação não é independente das primeiras três.

Passo 6

Portanto, temos apenas três equações independentes que restringem as 19 variáveis. Para encontrar a dimensão de Dimensão de S = 19 - 3 = 16 , subtraímos o número de equações independentes do total de variáveis:
ã

Resposta

A dimensão de é 16.

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