Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um conjunto de vetores em que satisfazem algumas equações. Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a dimensão de um conjunto significa. Em álgebra linear, a dimensão de um espaço vetorial é o número de variáveis livres que podemos escolher quando resolvemos um sistema de equações que define esse espaço.
Passo 3
Dado que estamos trabalhando em x5 = x2 x15 = x7 x12 = x13 x5 - x15 = x2 - x7 , temos 19 variáveis . O conjunto é definido pelas seguintes equações:
Vamos analisar quantas dessas equações são independentes, ou seja, que realmente restringem as variáveis de forma única.
Passo 4
Observamos as primeiras três equações:
Essas três equações definem relações diretas entre pares de variáveis. A quarta equação é:
Vamos ver se essa quarta equação é independente das primeiras três.
Passo 5
Substituindo x2 - x7 = x2 - x7 e na quarta equação:
Isso nos dá uma verdade matemática, que não adiciona nenhuma nova restrição. Ou seja, a quarta equação não é independente das primeiras três.
Passo 6
Portanto, temos apenas três equações independentes que restringem as 19 variáveis. Para encontrar a dimensão de Dimensão de S = 19 - 3 = 16 , subtraímos o número de equações independentes do total de variáveis: