Seja o conjunto dos tais que:
A dimensão de é:
(G) 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um conjunto de vetores em que satisfazem algumas equações. Nosso objetivo é encontrar a dimensão desse conjunto . Para isso, vamos precisar entender conceitos de espaços vetoriais e sistemas lineares. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a dimensão de um conjunto significa. Em álgebra linear, a dimensão de um espaço vetorial é o número de variáveis livres que podemos escolher quando resolvemos um sistema de equações que define esse espaço.

Passo 3

Dado que estamos trabalhando em , temos 19 variáveis . O conjunto é definido pelas seguintes equações:
Vamos analisar quantas dessas equações são independentes, ou seja, que realmente restringem as variáveis de forma única.

Passo 4

Observamos as primeiras três equações:
Essas três equações definem relações diretas entre pares de variáveis. A quarta equação é:
Vamos ver se essa quarta equação é independente das primeiras três.

Passo 5

Substituindo e na quarta equação:
Isso nos dá uma verdade matemática, que não adiciona nenhuma nova restrição. Ou seja, a quarta equação não é independente das primeiras três.

Passo 6

Portanto, temos apenas três equações independentes que restringem as 19 variáveis. Para encontrar a dimensão de , subtraímos o número de equações independentes do total de variáveis:
ã

Resposta

A dimensão de é 16.

Exercícios relacionados

Considere e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se é LD, então tem infinitas solução.
II - Se é LD, então tem infinitas soluções.
III - Se é LI, então tem solução única.
(A) Apenas I é verdadeira.
Determine a dimensão de
.
(E) 4
Em cada caso, determine se é subespaço de . Justifique.
e é o conjunto das funções que se anulam em todos os pontos de .
Determine a dimensão de
.
(D) 3