Vamos resolver o sistema de equações dado e determinar para quais valores do parâmetro ele possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Este exercício pertence à matéria de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de sistemas lineares. Para resolver, vamos utilizar conceitos como determinantes e análise de consistência de sistemas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.
Passo 3
Para saber se o sistema possui uma solução única, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes . Se o determinante for diferente de zero (), o sistema tem solução única. Caso contrário, analisaremos outras possibilidades.
Passo 4
Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, analisamos os valores de que tornam o determinante zero:
Portanto, para e , o determinante é diferente de zero, e o sistema possui uma solução única.
Passo 6
Vamos analisar os casos onde :
Caso 1:
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Substituindo na primeira equação:
E na terceira equação temos . Ambas são iguais, então temos infinitas soluções dependendo de um parâmetro.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação temos . Isso gera uma inconsistência, pois , então não há solução.