Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros alpha, beta, gamma, a, b e c.
© clcx1+2 x2+(b+1) x3 & = & 2 x2+b^2 x3 & = & b+1 x1+(1-b) x3 & = & 0

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações dado e determinar para quais valores do parâmetro ele possui solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Este exercício pertence à matéria de Álgebra Linear, especificamente ao estudo de sistemas lineares. Para resolver, vamos utilizar conceitos como determinantes e análise de consistência de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 1 & 2 & b+1 0 & 1 & b^2 1 & 0 & 1 - b , x = x1 x2 x3 , b = 2 b+1 0 , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes.

Passo 3

Para saber se o sistema possui uma solução única, precisamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes det(A) = 1 & 2 & b+1 0 & 1 & b^2 1 & 0 & 1 - b . Se o determinante for diferente de zero ( ), o sistema tem solução única. Caso contrário, analisaremos outras possibilidades.

Passo 4

Calculando o determinante usando a regra de Sarrus ou co-fatores:
det(A) = 1 cdot (1 cdot (1 - b) - b^2 cdot 0) - 2 cdot (0 cdot (1 - b) - b^2 cdot 1) + (b+1) cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1)
Simplificando:
det(A) = 1 cdot (1 - b) - 2 cdot (-b^2) + (b+1) cdot (-1) = (1 - b) + 2b^2 - b - 1 = 2b^2 - 2b
det(A) = 2b(b - 1)

Passo 5

Agora, analisamos os valores de 2b(b - 1) = 0 implies b = 0 ou b = 1 que tornam o determinante zero:
Portanto, para e , o determinante é diferente de zero, e o sistema possui uma solução única.

Passo 6

Vamos analisar os casos onde x1 + 2x2 + 1 cdot x3 = 2 x2 + 0 cdot x3 = 1 x1 + 1 cdot x3 = 0 :
Caso 1: x1 + 2x2 + x3 = 2 x2 = 1 x1 + x3 = 0
Substituindo x1 + 2(1) + x3 = 2 implies x1 + x3 = 0 no sistema:
x1 + 2x2 + 2x3 = 2 x2 + 1 cdot x3 = 2 x1 + 0 cdot x3 = 0
Simplificando:
x1 + 2x2 + 2x3 = 2 x2 + x3 = 2 x1 = 0
Substituindo 0 + 2x2 + 2x3 = 2 implies x2 + x3 = 1 na primeira equação:
E na terceira equação temos . Ambas são iguais, então temos infinitas soluções dependendo de um parâmetro.
Caso 2:
Substituindo no sistema:
Simplificando:
Substituindo na primeira equação:
E na segunda equação temos . Isso gera uma inconsistência, pois , então não há solução.

Resposta

Para o sistema dado:
  • Quando e , o sistema possui uma solução única.
  • Quando , o sistema possui infinitas soluções.
  • Quando , o sistema não possui solução.

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