Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros alpha, beta, gamma, a, b e c.
(d) clrx+y+z & = & 0 x+(c-1) y & = & 1 x+c z & = & -1 x+z & = & 2

Passo 1

Beleza, vamos analisar este sistema de equações com as incógnitas , e . O que a questão pede é determinar que tipo de solução esse sistema tem dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como análise de sistemas lineares e determinantes de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
x + y + z = 0 x + (c - 1)y = 1 x + cz = -1 x + z = 2
Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a análise:
1 & 1 & 1 & | & 0 1 & c-1 & 0 & | & 1 1 & 0 & c & | & -1 1 & 0 & 1 & | & 2

Passo 4

Agora, vamos transformar essa matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos subtrair a primeira linha das demais para eliminar o 1 - 1 = 0 (x) :
  • (c-1) - 1 = c - 2 (y) :
0 - 1 = -1 (z)
1 - 0 = 1 (lado direito)
1 - 1 = 0 (x)
0 - 1 = -1 (y)
A nova segunda linha fica: c - 1 = c - 1 (z)
  • -1 - 0 = -1 (lado direito) :
1 - 1 = 0 (x)
0 - 1 = -1 (y)
1 - 1 = 0 (z)
2 - 0 = 2 (lado direito)
A nova terceira linha fica: 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & c-2 & -1 & | & 1 0 & -1 & c-1 & | & -1 0 & -1 & 0 & | & 2
  • :
A nova quarta linha fica:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos analisar as últimas três linhas. Para facilitar, vamos focar nas equações que faltam:
  1. -y = 2 Rightarrow y = -2
Da terceira equação, podemos resolver direto para :

Passo 6

Agora que sabemos que (c-2)(-2) - z = 1 -2(c-2) - z = 1 -2c + 4 - z = 1 -2c + 4 - 1 = z z = -2c + 3 , vamos substituir esse valor na segunda equação:

Passo 7

Com x + (-2) + (-2c + 3) = 0 x -2 -2c +3 = 0 x -2c +1 = 0 x = 2c -1 e , vamos substituir na primeira equação do sistema original para encontrar :

Passo 8

Agora, temos as soluções para x = 2c -1 y = -2 z = -2c +3 , e em termos de :
Isso mostra que, para qualquer valor de , existe uma única solução para o sistema.

Resposta

Para todo valor de x = 2c -1, y = -2, z = -2c +3 , o sistema possui uma solução única dada por:

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