Em cada caso, determine o tipo de solução dos sistemas, de acordo com os valores dos parâmetros e .
(d)
Passo 1
Beleza, vamos analisar este sistema de equações com as incógnitas , e . O que a questão pede é determinar que tipo de solução esse sistema tem dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como análise de sistemas lineares e determinantes de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos montar a matriz aumentada do sistema para facilitar a análise:
Passo 4
Agora, vamos transformar essa matriz em forma escalonada usando operações de linha. Vamos subtrair a primeira linha das demais para eliminar o :
:
A nova segunda linha fica:
:
A nova terceira linha fica:
:
A nova quarta linha fica:
A matriz agora fica:
Passo 5
Vamos analisar as últimas três linhas. Para facilitar, vamos focar nas equações que faltam:
Da terceira equação, podemos resolver direto para :
Passo 6
Agora que sabemos que , vamos substituir esse valor na segunda equação:
Passo 7
Com e , vamos substituir na primeira equação do sistema original para encontrar :
Passo 8
Agora, temos as soluções para , e em termos de :
Isso mostra que, para qualquer valor de , existe uma única solução para o sistema.
Resposta
Para todo valor de , o sistema possui uma solução única dada por: