Determine se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir se as retas
e
são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de equações de retas no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas que a gente tem:
A reta
está em forma paramétrica, onde
é o parâmetro.
Passo 3
Vamos reescrever a equação de
de forma que possamos comparar com a de
. A partir das equações paramétricas:
Podemos expressar
em termos de
:
Substituindo
na equação de
:
Então, a equação de
fica:
Passo 4
Agora, vamos colocar as duas equações de retas na forma padrão
:
Para saber se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam, a gente olha para os coeficientes de
e
:
- Para
: coeficiente de é 1 e de é -3. - Para
: coeficiente de é 1 e de é 1.
Passo 5
Duas retas são paralelas se tiverem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, se
.
Vamos verificar:
Como esses valores não são iguais, as retas não são paralelas.
Passo 6
Como as retas não são paralelas, elas devem se cruzar em algum ponto. Vamos encontrar esse ponto resolvendo o sistema de equações:
Vamos resolver pelo método da substituição. Da segunda equação, podemos isolar
:
Agora, substituímos esse valor de
na primeira equação:
Agora que temos
, encontramos
:
Resposta
As retas
e
se cruzam no ponto
.