Determine se as retas r1 e r2 são paralelas, coincidentes ou concorrentes, determinando, no último caso, o ponto de interseção:
b)
ll r1: & x-3 y=1 r2: & x=-1-t, y=1+t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa descobrir se as retas e são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente de equações de retas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas que a gente tem:
  • x = -1 - t y = 1 + t
A reta está em forma paramétrica, onde é o parâmetro.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de x = -1 - t y = 1 + t de forma que possamos comparar com a de t = y - 1 . A partir das equações paramétricas:
x = -1 - (y - 1) x = -1 - y + 1 x = -y
Podemos expressar x + y = 0 em termos de :
Substituindo na equação de :
Então, a equação de fica:

Passo 4

Agora, vamos colocar as duas equações de retas na forma padrão :
Para saber se as retas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam, a gente olha para os coeficientes de e :
  • Para : coeficiente de é 1 e de é -3.
  • Para : coeficiente de é 1 e de é 1.

Passo 5

Duas retas são paralelas se tiverem os mesmos coeficientes angulares, ou seja, se 1-3 neq 11 .
Vamos verificar:
Como esses valores não são iguais, as retas não são paralelas.

Passo 6

Como as retas não são paralelas, elas devem se cruzar em algum ponto. Vamos encontrar esse ponto resolvendo o sistema de equações:
x - 3y = 1 x + y = 0
Vamos resolver pelo método da substituição. Da segunda equação, podemos isolar x = -y :
(-y) - 3y = 1 -4y = 1 y = -14
Agora, substituímos esse valor de x = -(-14) = 14 na primeira equação:
Agora que temos , encontramos :

Resposta

As retas e se cruzam no ponto .

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