Considere o seguinte sistema linear :
l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
(a) SPD

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um sistema linear com quatro equações e quatro incógnitas (x, y, z, w). A parada que queremos descobrir é qual relação entre os parâmetros e faz com que esse sistema seja SPD, ou seja, Simétrico e Positivo Definido. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas e positivas definidas e aplicar isso ao nosso sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma matricial A = 1 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & -1 1 & 0 & 0 & -1 , x = x y z w , c = b1 - a1 b2 - a2 b3 - a3 a4 - b4 , onde:

Passo 3

Agora, para o sistema ser Simétrico e Positivo Definido (SPD), a matriz A^T = 1 & 0 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & -1 precisa ser simétrica ( ) e positiva definida. Vamos verificar se é simétrica.
A matriz transposta de é:
Comparando com , vemos que nem todos os elementos correspondentes são iguais. Por exemplo, e , o que não confere. Para ser simétrica, precisaríamos que todos esses elementos fossem iguais, mas isso não acontece a menos que imponhamos certas condições.

Passo 4

Vamos tentar igualar os elementos para que seja simétrica:
  1. → Isso não é possível.
  2. → Também não é possível.
  3. → Novamente, impossível.
Como vemos, não há como ajustar os parâmetros e para que se torne simétrica, já que as entradas fixas nos coeficientes do sistema não permitem essa igualdade.

Passo 5

Além disso, mesmo se conseguíssemos tornar simétrica, precisaríamos que ela fosse positiva definida. Isso significa que todos os autovalores de seriam positivos, ou que todos os seus menores principais determinantes são positivos. Mas, como já vimos que não pode ser simétrica, esse passo não se aplica neste caso.

Passo 6

Portanto, concluímos que não existe uma relação entre os parâmetros e que torne o sistema Simétrico e Positivo Definido (SPD), já que a estrutura do sistema impede que a matriz dos coeficientes seja simétrica, condição necessária para ser SPD.

Resposta

Não existe relação entre os parâmetros que torne o sistema Simétrico e Positivo Definido (SPD).

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