Em cada caso determine: A transformação linear tal que e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito da álgebra linear. A transformação está mapeando vetores do espaço para . A gente precisa descobrir como essa transformação funciona, ou seja, encontrar uma forma geral para . Para isso, vamos usar as informações que a gente tem sobre como age em dois vetores específicos: e .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz será de tamanho . Vamos chamar essa matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .
Passo 3
Sabe que, para transformar um vetor usando a matriz , fazemos a multiplicação:
Então, se a gente sabe como age em e , podemos montar um sistema de equações para descobrir os coeficientes.
Passo 4
Vamos aplicar em :
Isso nos dá três equações:
Passo 5
Agora, vamos aplicar em :
Isso nos dá mais três equações:
Passo 6
Vamos resolver as equações 4, 5 e 6 primeiro:
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Passo 7
Agora, usando os valores de e nas equações 1 e 2:
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Passo 8
Por fim, usando o valor de na equação 3:
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Resposta
Então, a matriz da transformação linear é:
Isso significa que, para qualquer vetor em , a transformação será: