Em cada caso determine: A transformação linear tal que e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito da álgebra linear. A transformação está mapeando vetores do espaço para . A gente precisa descobrir como essa transformação funciona, ou seja, encontrar uma forma geral para . Para isso, vamos usar as informações que a gente tem sobre como age em dois vetores específicos: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como vai de para , a matriz será de tamanho . Vamos chamar essa matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Sabe que, para transformar um vetor usando a matriz , fazemos a multiplicação:
Então, se a gente sabe como age em e , podemos montar um sistema de equações para descobrir os coeficientes.

Passo 4

Vamos aplicar em :
Isso nos dá três equações:

Passo 5

Agora, vamos aplicar em :
Isso nos dá mais três equações:

Passo 6

Vamos resolver as equações 4, 5 e 6 primeiro:

Passo 7

Agora, usando os valores de e nas equações 1 e 2:

Passo 8

Por fim, usando o valor de na equação 3:

Resposta

Então, a matriz da transformação linear é:
Isso significa que, para qualquer vetor em , a transformação será:

Exercícios relacionados

Verifique em que caso a função definida por é linear:
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
Determine o valor de para que as retas dadas sejam paralelas:
(b) e
Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja, .