Em cada caso determine: A transformação linear T: R^2->R^3 tal que T(1,1)=(3,2,1) e T(0,2)=(0,1,0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transformações lineares, que é um conceito da álgebra linear. A transformação está mapeando vetores do espaço para . A gente precisa descobrir como essa transformação funciona, ou seja, encontrar uma forma geral para . Para isso, vamos usar as informações que a gente tem sobre como age em dois vetores específicos: e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz. No caso, como A = a & b c & d e & f vai de para , a matriz será de tamanho . Vamos chamar essa matriz de:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 3

Sabe que, para transformar um vetor T(x, y) = A x y = a x + b y c x + d y e x + f y usando a matriz , fazemos a multiplicação:
Então, se a gente sabe como age em e , podemos montar um sistema de equações para descobrir os coeficientes.

Passo 4

Vamos aplicar T(1,1) = a(1) + b(1) c(1) + d(1) e(1) + f(1) = a + b c + d e + f = 3 2 1 em :
Isso nos dá três equações:

Passo 5

Agora, vamos aplicar T(0,2) = a(0) + b(2) c(0) + d(2) e(0) + f(2) = 2b 2d 2f = 0 1 0 em :
Isso nos dá mais três equações:

Passo 6

Vamos resolver as equações 4, 5 e 6 primeiro:

Passo 7

Agora, usando os valores de e nas equações 1 e 2:

Passo 8

Por fim, usando o valor de na equação 3:

Resposta

Então, a matriz da transformação linear A = 3 & 0 32 & 12 1 & 0 é:
T(x, y) = 3x 32x + 12y x
Isso significa que, para qualquer vetor em , a transformação será:

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