Verifique em que caso a função T: R^2 R^3 definida por T(x, y)=(x+m y, x+m, y) é linear: m=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar em qual situação a função definida por é uma função linear, considerando . A gente vai precisar entender sobre transformações lineares, que é um tópico de álgebra linear. Vamos usar propriedades das transformações lineares, como a conservação da adição e da multiplicação por escalar, e também verificar se a transformação manda o vetor zero no zero.

Passo 2

Primeiro, lembrar que uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar .
Além disso, uma característica importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.

Passo 3

Vamos começar verificando se T(0, 0) = (0 + m cdot 0, 0 + m, 0) = (0, m, 0) . O vetor zero em é .
Aplicando :
Para que , precisamos que .

Passo 4

Isso já nos dá uma condição importante: para que seja linear, necessariamente deve ser igual a 0. Mas vamos verificar as outras propriedades pra ter certeza.

Passo 5

Vamos verificar a propriedade da adição. Tomemos dois vetores quaisquer T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + m(y1 + y2), (x1 + x2) + m, y1 + y2) e T(x1, y1) + T(x2, y2) = (x1 + m y1, x1 + m, y1) + (x2 + m y2, x2 + m, y2) = (x1 + x2 + m(y1 + y2), x1 + x2 + 2m, y1 + y2) em x1 + x2 + m(y1 + y2) = x1 + x2 + m(y1 + y2) (ok) .
Calculando (x1 + x2) + m = (x1 + x2) + 2m :
Agora, calculando :
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo , precisamos que:
Para que isso seja verdadeiro, devemos ter .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja T(cx, cy) = (cx + m(cy), cx + m, cy) um escalar qualquer e c cdot T(x, y) = c(x + m y, x + m, y) = (c(x + m y), c(x + m), c y) .
Calculando cx + m(cy) = c(x + m y) (ok) :
cx + m = c(x + m)
E :
Para que sejam iguais:
Isso só é verdade para todo se .

Resposta

A função é linear somente quando .

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