Verifique em que caso a função definida por é linear:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar em qual situação a função definida por é uma função linear, considerando . A gente vai precisar entender sobre transformações lineares, que é um tópico de álgebra linear. Vamos usar propriedades das transformações lineares, como a conservação da adição e da multiplicação por escalar, e também verificar se a transformação manda o vetor zero no zero.

Passo 2

Primeiro, lembrar que uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição: para quaisquer vetores e .
  2. Multiplicação por escalar: para qualquer escalar .
Além disso, uma característica importante é que , ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.

Passo 3

Vamos começar verificando se . O vetor zero em é .
Aplicando :
Para que , precisamos que .

Passo 4

Isso já nos dá uma condição importante: para que seja linear, necessariamente deve ser igual a 0. Mas vamos verificar as outras propriedades pra ter certeza.

Passo 5

Vamos verificar a propriedade da adição. Tomemos dois vetores quaisquer e em .
Calculando :
Agora, calculando :
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo , precisamos que:
Para que isso seja verdadeiro, devemos ter .

Passo 6

Por fim, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja um escalar qualquer e .
Calculando :
E :
Para que sejam iguais:
Isso só é verdade para todo se .

Resposta

A função é linear somente quando .

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Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
Determine a transformação linear sabendo que , 1, 0) e encontre um vetor tal que .
Em cada caso determine: A transformação linear tal que e
Determine o valor de para que as retas dadas sejam paralelas:
(b) e