Verifique em que caso a função
definida por
é linear:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar em qual situação a função
definida por
é uma função linear, considerando
. A gente vai precisar entender sobre transformações lineares, que é um tópico de álgebra linear. Vamos usar propriedades das transformações lineares, como a conservação da adição e da multiplicação por escalar, e também verificar se a transformação manda o vetor zero no zero.
Passo 2
Primeiro, lembrar que uma função
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição:
para quaisquer vetores e . - Multiplicação por escalar:
para qualquer escalar .
Além disso, uma característica importante é que
, ou seja, o vetor zero deve ser mapeado para o vetor zero.
Passo 3
Vamos começar verificando se
. O vetor zero em
é
.
Aplicando
:
Para que
, precisamos que
.
Passo 4
Isso já nos dá uma condição importante: para que
seja linear, necessariamente
deve ser igual a 0. Mas vamos verificar as outras propriedades pra ter certeza.
Passo 5
Vamos verificar a propriedade da adição. Tomemos dois vetores quaisquer
e
em
.
Calculando
:
Agora, calculando
:
Para que essas duas expressões sejam iguais para todo
, precisamos que:
Para que isso seja verdadeiro, devemos ter
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja
um escalar qualquer e
.
Calculando
:
E
:
Para que sejam iguais:
Isso só é verdade para todo
se
.
Resposta
A função
é linear somente quando
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
(b)
(b)
Determine a transformação linear
sabendo que
, 1, 0) e encontre um vetor
tal que
.
Em cada caso determine: A transformação linear
tal que
e
Determine o valor de
para que as retas dadas sejam paralelas:
(b) e
(b)