Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja,
.
Passo 1
Vamos provar que a função módulo, definida por
, é contínua em toda a reta real. Isso significa que, para qualquer número real
, o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limite e propriedades das funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a continuidade de uma função em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
No nosso caso,
, então precisamos mostrar que:
Passo 3
Vamos considerar dois casos para facilitar a prova: quando
e quando
.
Passo 4
Caso 1:
Quando
é positivo ou zero,
simplesmente se comporta como
, já que
também será próximo de
e positivo. Então:
Portanto, a igualdade é verdadeira nesse caso.
Passo 5
Caso 2:
Quando
é negativo,
se comporta como
, pois
será próximo de
e negativo. Então:
Mais uma vez, a igualdade se mantém.
Passo 6
Em ambos os casos,
é verdadeiro. Como cobrimos todas as possibilidades para
(positivo, negativo e zero), concluímos que a função módulo é contínua em toda a reta real.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em toda a reta real, pois para todo
,
Exercícios relacionados
Determine o valor de
para que as retas dadas sejam paralelas:
(b) e
(b)
Em cada caso determine: A transformação linear
tal que
e
Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
(e)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)