Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja, .

Passo 1

Vamos provar que a função módulo, definida por , é contínua em toda a reta real. Isso significa que, para qualquer número real , o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de limite e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a continuidade de uma função em um ponto. Uma função é contínua em se:
No nosso caso, , então precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos considerar dois casos para facilitar a prova: quando e quando .

Passo 4

Caso 1:
Quando é positivo ou zero, simplesmente se comporta como , já que também será próximo de e positivo. Então:
Portanto, a igualdade é verdadeira nesse caso.

Passo 5

Caso 2:
Quando é negativo, se comporta como , pois será próximo de e negativo. Então:
Mais uma vez, a igualdade se mantém.

Passo 6

Em ambos os casos, é verdadeiro. Como cobrimos todas as possibilidades para (positivo, negativo e zero), concluímos que a função módulo é contínua em toda a reta real.

Resposta

Portanto, a função é contínua em toda a reta real, pois para todo ,

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Determine o valor de para que as retas dadas sejam paralelas:
(b) e
Em cada caso determine: A transformação linear tal que e
Determine, se existir, os seguintes limites:
(e)
Determine, se existir, os seguintes limites:
(l) \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{1-x^{3}}\right)