Prove que a função modular é contínua em toda a reta, ou seja, lim x a|x|=|a|, forall a in R.

Passo 1

Vamos provar que a função módulo, definida por , é contínua em toda a reta real. Isso significa que, para qualquer número real , o limite de quando se aproxima de é igual a . Para isso, vamos utilizar conceitos de limite e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a continuidade de uma função em um ponto. Uma função limx to a f(x) = f(a) é contínua em limx to a |x| = |a| se:
No nosso caso, , então precisamos mostrar que:

Passo 3

Vamos considerar dois casos para facilitar a prova: quando e quando .

Passo 4

Caso 1: limx to a |x| = limx to a x = a = |a|
Quando é positivo ou zero, simplesmente se comporta como , já que também será próximo de e positivo. Então:
Portanto, a igualdade é verdadeira nesse caso.

Passo 5

Caso 2: limx to a |x| = limx to a (-x) = -a = |a|
Quando é negativo, se comporta como , pois será próximo de e negativo. Então:
Mais uma vez, a igualdade se mantém.

Passo 6

Em ambos os casos, é verdadeiro. Como cobrimos todas as possibilidades para (positivo, negativo e zero), concluímos que a função módulo é contínua em toda a reta real.

Resposta

Portanto, a função limx to a |x| = |a| é contínua em toda a reta real, pois para todo ,

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