Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
d) f(x)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace de uma função específica, que nesse caso é . A matéria que estamos trabalhando aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e muito mais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo, F(p) = Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx , em uma função no domínio da frequência, . A fórmula para isso é:
Aqui, é uma variável complexa, mas a gente pode tratar como um número real para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função F(p) = integral0^infty e^-p x x^2 , dx . Substituindo na fórmula, temos:
Nosso desafio agora é calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da matemática que facilita bastante a vida. A integral de integral0^infty x^n e^-p x , dx = n!p^n+1 de 0 a infinito é conhecida e é dada por:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

No nosso caso, integral0^infty x^2 e^-p x , dx = 2!p^3 = 2p^3 . Vamos substituir na fórmula:
Então, a integral que precisamos calcular é igual a .

Resposta

A transformada de Laplace de F(p) = 2p^3 é:

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