Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
d) f(x)=x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace de uma função específica, que nesse caso é . A matéria que estamos trabalhando aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e muito mais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo, F(p) = Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx , em uma função no domínio da frequência, . A fórmula para isso é:
Aqui, é uma variável complexa, mas a gente pode tratar como um número real para simplificar.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para a função F(p) = integral0^infty e^-p x x^2 , dx . Substituindo na fórmula, temos:
Nosso desafio agora é calcular essa integral.

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da matemática que facilita bastante a vida. A integral de integral0^infty x^n e^-p x , dx = n!p^n+1 de 0 a infinito é conhecida e é dada por:
Onde é o fatorial de .

Passo 5

No nosso caso, integral0^infty x^2 e^-p x , dx = 2!p^3 = 2p^3 . Vamos substituir na fórmula:
Então, a integral que precisamos calcular é igual a .

Resposta

A transformada de Laplace de F(p) = 2p^3 é:

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Considere o sistema
llc 4 x+y+z+w & = & 6 3 x+7 y-z+w & = & 1 7 x+3 y-5 z+8 w & = & -3 x+y+z+2 w & = & 3
(a) Resolva o sistema usando regra de cramer.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
Considere as matrizes:
A=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ) B=(ccc 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 ) C=(ccc 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 )
Encontre matrizes elementares E1, E2, E3 e E4 tais que:
(a) E1 A=B
(b) E2 B=A
© E3 A=C
(d) E4 C=A
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
e) f(x)=raizx^5
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
f) f(x)=x^2-2 x