Em cada caso, determine a transformada de Laplace
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a transformada de Laplace de uma função específica, que nesse caso é
. A matéria que estamos trabalhando aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e muito mais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Ela transforma uma função do tempo,
, em uma função no domínio da frequência,
. A fórmula para isso é:
Aqui,
é uma variável complexa, mas a gente pode tratar como um número real para simplificar.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para a função
. Substituindo na fórmula, temos:
Nosso desafio agora é calcular essa integral.
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma fórmula padrão da matemática que facilita bastante a vida. A integral de
de 0 a infinito é conhecida e é dada por:
Onde
é o fatorial de
.
Passo 5
No nosso caso,
. Vamos substituir na fórmula:
Então, a integral que precisamos calcular é igual a
.
Resposta
A transformada de Laplace de
é: