Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
e) f(x)=raizx^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de . A matéria que estamos lidando aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e problemas em engenharia e física. Para resolver isso, a gente vai usar a definição da transformada de Laplace e propriedades das integrais envolvendo funções exponenciais e potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace:
F(p) = Lf(x)(p) = integral0^infty e^-p x f(x) , dx
No nosso caso, F(p) = integral0^infty e^-p x x^5/2 , dx , que podemos reescrever como . Então, a nossa integral fica:

Passo 3

Agora, precisamos lembrar de uma integral conhecida que envolve essa forma. A integral de integral0^infty x^n e^-p x , dx = Gamma(n + 1)p^n + 1 de 0 a infinito está relacionada com a função Gamma, que é uma generalização do fatorial. A fórmula é:
Onde é a função Gamma avaliada em .

Passo 4

No nosso caso, F(p) = Gamma(52 + 1)p^52 + 1 = Gamma(72)p^72 . Então, substituindo na fórmula:
Agora, precisamos calcular .

Passo 5

Sabemos que para meio-inteiros, a função Gamma tem valores relacionados ao fatorial:
Gamma(72) = 52 cdot 32 cdot 12 cdot raizpi = 154 raizpi
Portanto, substituindo de volta na expressão para F(p) = 154 raizpip^72 = 15 raizpi4 p^7/2 :

Resposta

A transformada de Laplace de F(p) = 15 raizpi4 p^7/2 é:

Exercícios relacionados

Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
d) f(x)=x^2
Considere o sistema
llc 4 x+y+z+w & = & 6 3 x+7 y-z+w & = & 1 7 x+3 y-5 z+8 w & = & -3 x+y+z+2 w & = & 3
(a) Resolva o sistema usando regra de cramer.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
f) f(x)=x^2-2 x
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
F(p)=Lf(x)(p):=integral0^infty e^-p x f(x) d x
g) f(x)=(x^2-3)^2