Em cada caso, determine a transformada de Laplace
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformada de Laplace juntos! O enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace de
. A matéria que estamos lidando aqui é Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais e problemas em engenharia e física. Para resolver isso, a gente vai usar a definição da transformada de Laplace e propriedades das integrais envolvendo funções exponenciais e potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição da transformada de Laplace:
No nosso caso,
, que podemos reescrever como
. Então, a nossa integral fica:
Passo 3
Agora, precisamos lembrar de uma integral conhecida que envolve essa forma. A integral de
de 0 a infinito está relacionada com a função Gamma, que é uma generalização do fatorial. A fórmula é:
Onde
é a função Gamma avaliada em
.
Passo 4
No nosso caso,
. Então, substituindo na fórmula:
Agora, precisamos calcular
.
Passo 5
Sabemos que para meio-inteiros, a função Gamma tem valores relacionados ao fatorial:
Portanto, substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Exercícios relacionados
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
d)
Considere o sistema
(a) Resolva o sistema usando regra de cramer.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
(b) Resolva o sistema usando o método das matrizes elementares.
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
f)
Em cada caso, determine a transformada de Laplace
g)